Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorÜstel ve Logaritmik Denklemler
log⁡x−1(x2−5x+6)+log⁡x−1(x+2)=log⁡x−1(2x2−8x+8)\log_{x-1}(x^2 - 5x + 6) + \log_{x-1}(x + 2) = \log_{x-1}(2x^2 - 8x + 8)

denkleminin gerçel sayılardaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
  1. A
    ∅\emptyset
  2. B
    {3−172,3+172}\left\{\frac{3-\sqrt{17}}{2}, \frac{3+\sqrt{17}}{2}\right\}
  3. {3+172}\left\{\frac{3+\sqrt{17}}{2}\right\}Cevap
  4. D
    {2,3+172}\left\{2, \frac{3+\sqrt{17}}{2}\right\}
  5. E
    {2,3−172,3+172}\left\{2, \frac{3-\sqrt{17}}{2}, \frac{3+\sqrt{17}}{2}\right\}

Cevap

Denklemin tek geçerli kökünü içeren seçenektir.
Verilen denklemin çözümünde logaritma tanım kümesi kuralları (taban pozitif ve 1'den farklı, logaritma içi pozitif) uygulandığında çözüm aralığı (1,2)∪(3,∞)(1, 2) \cup (3, \infty) olarak bulunur. Logaritma toplama özelliği yardımıyla elde edilen x2−3x−2=0x^2 - 3x - 2 = 0 denkleminin köklerinden sadece 3+172\frac{3+\sqrt{17}}{2} değeri bu aralıkta yer alır.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma fonksiyonlarının tanımlı olabilmesi için gerekli koşulları (tanım kümesini) belirleyin.
x>1x > 1, x≠2x \neq 2 ve (x−2)(x−3)>0(x-2)(x-3) > 0 koşullarından ortak tanım kümesi D=(1,2)∪(3,∞)D = (1, 2) \cup (3, \infty) olarak bulunur.
Logaritmanın tabanı pozitif ve 1'den farklı, argümanları ise pozitif olmalıdır.
2
Logaritmanın toplama özelliğini kullanarak denklemi tek bir logaritma altında birleştirin ve argümanları eşitleyin.
(x2−5x+6)(x+2)=2x2−8x+8(x^2 - 5x + 6)(x + 2) = 2x^2 - 8x + 8 denklemi elde edilir. Bu ifadeyi çarpanlarına ayırırsak (x−2)(x−3)(x+2)=2(x−2)2(x-2)(x-3)(x+2) = 2(x-2)^2 olur.
log⁡b(A)+log⁡b(B)=log⁡b(A⋅B)\log_b(A) + \log_b(B) = \log_b(A \cdot B) kuralı uygulanır.
3
Denklemi sadeleştirip ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem formuna getirin.
x≠2x \neq 2 olduğundan her iki taraf (x−2)(x-2) ile sadeleştirilebilir. Buradan (x−3)(x+2)=2(x−2)  ⟹  x2−3x−2=0(x-3)(x+2) = 2(x-2) \implies x^2 - 3x - 2 = 0 elde edilir.
x=2x = 2 değeri tanım kümesinde olmadığından sadeleştirme işlemi kök kaybına yol açmaz.
4
İkinci dereceden denklemin köklerini diskriminant yardımıyla bulun.
x1=3−172x_1 = \frac{3 - \sqrt{17}}{2} ve x2=3+172x_2 = \frac{3 + \sqrt{17}}{2} kökleri bulunur.
ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 denkleminin kökleri x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} formülü ile hesaplanır.
5
Bulunan köklerin tanım kümesinde olup olmadığını kontrol edin.
x1≈−0.56∉Dx_1 \approx -0.56 \notin D olduğundan elenir. x2≈3.56∈Dx_2 \approx 3.56 \in D olduğundan denklemin tek köküdür. Çözüm kümesi {3+172}\left\{\frac{3+\sqrt{17}}{2}\right\} olur.
Aday köklerin başlangıçta belirlenen D=(1,2)∪(3,∞)D = (1, 2) \cup (3, \infty) tanım kümesine ait olması zorunludur.

Anahtar Kavram

Logaritmik denklemlerin çözümünde tanım kümesi kontrolü ve logaritma özelliklerinin uygulanması.
Bu soruyu puanla

Konular

Üstel ve Logaritmik Denklemler

Bu konudan daha fazla soru