x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) olmak üzere, \cos(4x) = 0,2 olduğuna göre, \sin^4 x + … — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right)

olmak üzere,

\cos(4x) = 0,2

olduğuna göre,

\sin^4 x + \cos^4 x

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevap: 0.8

İfadenin değeri 0,8 olarak bulunur.

İstenen

\sin^4 x + \cos^4 x

ifadesi,

(\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x

şeklinde yazılıp düzenlendiğinde

1 - \frac{1}{2}\sin^2(2x)

ifadesine eşit olur. Diğer taraftan,

\cos(4x) = 1 - 2\sin^2(2x)

yarım açı formülünden yararlanarak

\cos(4x) = 0,2

değeri yerine yazıldığında

\sin^2(2x) = 0,4

elde edilir. Bu değer ilk eşitlikte yerine yazıldığında sonuç

1 - 0,2 = 0,8

olarak hesaplanır.

\sin^4 x + \cos^4 x

ifadesini, bilinen trigonometrik özdeşlikleri kullanabilmek amacıyla

\sin^2(2x)

cinsinden ifade edin.

\sin^4 x + \cos^4 x = 1 - \frac{1}{2}\sin^2(2x)

\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x

özdeşliğinde

\sin^2 x + \cos^2 x = 1

\sin x \cos x = \frac{\sin(2x)}{2}

eşitliklerini yerine yazmak için.

Verilen

\cos(4x) = 0,2

eşitliğini,

\cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2\theta

yarım açı formülünü kullanarak

\sin^2(2x)

cinsinden açın ve çözün.

\sin^2(2x) = 0,4

0,2 = 1 - 2\sin^2(2x) \implies 2\sin^2(2x) = 0,8 \implies \sin^2(2x) = 0,4

elde edilerek ilk adımda ihtiyaç duyulan terimi bulmak için.

Elde edilen

\sin^2(2x) = 0,4

değerini, birinci adımda basitleştirdiğimiz ifadede yerine yazıp sonucu hesaplayın.

0,8

İstenen ifadenin sayısal değerine ulaşmak için.

Yarım Açı Formülleri ve Trigonometrik Özdeşlikler

Soru