Examkin

Soru

Zorluk: OrtaYarım Açı Formülleri
θ∈(π,3π2)\theta \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) olmak üzere,
tan⁡θ+cot⁡θ=4\tan \theta + \cot \theta = 4
olduğuna göre, cos⁡(4θ)\cos(4\theta) değeri kaçtır?

Cevap: 0.5

Cevap

Soruda istenen cos⁡(4θ)\cos(4\theta) değeri 0,50,5 olarak bulunur.
tan⁡θ+cot⁡θ=4\tan \theta + \cot \theta = 4 eşitliğinden sin⁡(2θ)=1/2\sin(2\theta) = 1/2 elde edilir. Kosinüs yarım açı formülü olan cos⁡(2A)=1−2sin⁡2(A)\cos(2A) = 1 - 2\sin^2(A) bağıntısında A=2θA = 2\theta alınırsa, cos⁡(4θ)=1−2sin⁡2(2θ)=1−2(1/2)2=0,5\cos(4\theta) = 1 - 2\sin^2(2\theta) = 1 - 2(1/2)^2 = 0,5 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
tan⁡θ+cot⁡θ=4\tan \theta + \cot \theta = 4 ifadesinde trigonometrik özdeşlikleri yazarak paydaları eşitleyin.
sin⁡2θ+cos⁡2θsin⁡θ⋅cos⁡θ=4  ⟹  sin⁡θ⋅cos⁡θ=14\frac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}{\sin \theta \cdot \cos \theta} = 4 \implies \sin \theta \cdot \cos \theta = \frac{1}{4}
İfadeyi sadeleştirmek ve çarpım durumuna getirmek için.
2
Elde edilen çarpımı 22 ile çarparak sinüs yarım açı formülünü uygulayın.
sin⁡(2θ)=2sin⁡θcos⁡θ=2⋅14=12\sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}
Açıyı iki katına çıkarıp yarım açı formülünü elde etmek için.
3
cos⁡(4θ)\cos(4\theta) ifadesini yarım açı formülüyle sin⁡(2θ)\sin(2\theta) cinsinden açıp değeri yerine koyun.
cos⁡(4θ)=1−2sin⁡2(2θ)=1−2(12)2=0,5\cos(4\theta) = 1 - 2\sin^2(2\theta) = 1 - 2\left(\frac{1}{2}\right)^2 = 0,5
İstenen kosinüs değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonlarda yarım açı formülleri (sinüs ve kosinüs iki kat açı formülleri)
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Yarım Açı Formülleri

Bu konudan daha fazla soru