Examkin

Soru

Zorluk: KolayYarım Açı Formülleri
x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) olmak üzere,
sin⁡x−cos⁡x=15\sin x - \cos x = \frac{1}{5}
olduğuna göre, sin⁡(2x)\sin(2x) değeri kaçtır?

Cevap: 0.96

Cevap

İfadenin karesi alınarak temel trigonometrik özdeşlikler uygulandığında sin⁡(2x)\sin(2x) değeri 0,960,96 (yani 2425\frac{24}{25}) olarak elde edilir.
Verilen denklemde her iki tarafın karesi alındığında elde edilen sin⁡2x+cos⁡2x\sin^2 x + \cos^2 x ifadesi 1'e eşittir. Karesel açılımdaki −2sin⁡xcos⁡x-2\sin x\cos x terimi ise −sin⁡(2x)-\sin(2x) yarım açı formülüne karşılık gelir. Buradan 1−sin⁡(2x)=1/251 - \sin(2x) = 1/25 denklemi çözülerek sin⁡(2x)=24/25=0,96\sin(2x) = 24/25 = 0,96 sonucuna doğrudan ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin her iki tarafının karesini almak
sin⁡2x−2sin⁡xcos⁡x+cos⁡2x=125\sin^2 x - 2\sin x\cos x + \cos^2 x = \frac{1}{25}
İfadedeki terimlerin çarpımını ve kareler toplamını ortaya çıkararak bilinen trigonometrik özdeşlikleri kullanabilmek için.
2
Trigonometrik özdeşlikleri uygulamak
1−sin⁡(2x)=1251 - \sin(2x) = \frac{1}{25}
sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1 temel özdeşliği ile yarım açı formülü olan 2sin⁡xcos⁡x=sin⁡(2x)2\sin x\cos x = \sin(2x) eşitliklerini yerine koymak için.
3
sin⁡(2x)\sin(2x) değerini yalnız bırakmak
sin⁡(2x)=1−125=2425=0,96\sin(2x) = 1 - \frac{1}{25} = \frac{24}{25} = 0,96
Soruda istenen yarım açı değerini hesaplamak için.

Anahtar Kavram

Sinüs fonksiyonunun yarım açı formülü (sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x\sin(2x) = 2\sin x\cos x) ve temel trigonometrik özdeşliklerin (sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1) kullanımı.
Bu soruyu puanla

Konular

Yarım Açı Formülleri

Bu konudan daha fazla soru