x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) olmak üzere, \frac{\cos(2x)}{1 + \sin(2x)} = \frac{1}{… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right)

olmak üzere,

\frac{\cos(2x)}{1 + \sin(2x)} = \frac{1}{3}

olduğuna göre, $\cos(2x)$ değeri kaçtır?

Cevap: 0.6

Doğru cevap 0,6'dır.

Verilen denklemde pay

\cos^2 x - \sin^2 x

şeklinde, payda ise

(\cos x + \sin x)^2

şeklinde yazılıp sadeleştirildiğinde

\tan x = 1/2

elde edilir. Bu değer

\cos(2x) = \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x}

formülünde yerine yazıldığında doğru sonuç 0,6 olarak bulunur.

Trigonometrik ifadeleri yarım açı formülleri ve temel özdeşlikler yardımıyla çarpanlarına ayıralım.

\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x = (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)

1 + \sin(2x) = \sin^2 x + \cos^2 x + 2\sin x \cos x = (\cos x + \sin x)^2

Pay ve paydadaki ifadeleri sadeleştirebilmek için ortak çarpanlar oluşturulur.

Elde edilen ifadeleri oranlayıp sadeleştirelim ve

\tan x

değerini çekelim.

\frac{(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)}{(\cos x + \sin x)^2} = \frac{1}{3} \implies \frac{\cos x - \sin x}{\cos x + \sin x} = \frac{1}{3}

3\cos x - 3\sin x = \cos x + \sin x \implies 2\cos x = 4\sin x \implies \tan x = \frac{1}{2}

İçler dışlar çarpımı yapılarak

\sin x

ile

\cos x

arasındaki oran bulunur ve bu oran

\tan x

değerini verir.

\tan x = 1/2

değerini kullanarak

\cos(2x)

değerini hesaplayalım.

\cos(2x) = \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x} = \frac{1 - (1/2)^2}{1 + (1/2)^2} = \frac{1 - 1/4}{1 + 1/4} = \frac{3/4}{5/4} = \frac{3}{5} = 0,6

Kosinüs yarım açı formülü tanjant cinsinden yazılarak doğrudan sonuca ulaşılır.

Yarım Açı Formülleri

Soru