Examkin

Soru

Zorluk: OrtaToplam ve Fark Formülleri
Tanımlı olduğu xx ve yy değerleri için,
cos⁡(x−y)−cos⁡x⋅cos⁡ysin⁡x⋅cos⁡y\frac{\cos(x-y) - \cos x \cdot \cos y}{\sin x \cdot \cos y}
ifadesinin en sade hali nedir?

Cevap: \tan(y) / \tan y / tan(y) / tan y

Cevap

tan⁡y\tan y
Kosinüs fark formülü kullanılarak cos⁡(x−y)\cos(x-y) ifadesi cos⁡x⋅cos⁡y+sin⁡x⋅sin⁡y\cos x \cdot \cos y + \sin x \cdot \sin y şeklinde açılır. Bu açılım pay kısmındaki −cos⁡x⋅cos⁡y-\cos x \cdot \cos y terimi ile işleme sokulduğunda payda sadece sin⁡x⋅sin⁡y\sin x \cdot \sin y terimi kalır. Elde edilen bu pay değeri, paydadaki sin⁡x⋅cos⁡y\sin x \cdot \cos y terimine bölündüğünde sin⁡x\sin x çarpanları birbirini sadeleştirir. Geriye kalan sin⁡ycos⁡y\frac{\sin y}{\cos y} ifadesi ise tan⁡y\tan y fonksiyonuna eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Kosinüs fark formülünü kullanarak cos⁡(x−y)\cos(x-y) ifadesini açın.
cos⁡(x−y)=cos⁡x⋅cos⁡y+sin⁡x⋅sin⁡y\cos(x-y) = \cos x \cdot \cos y + \sin x \cdot \sin y
Pay kısmındaki fark terimini sadeleştirebilmek amacıyla kosinüs fark özdeşliği uygulanır.
2
Açılımı pay ifadesinde yerine koyarak sadeleştirmeyi gerçekleştirin.
Pay = (cos⁡x⋅cos⁡y+sin⁡x⋅sin⁡y)−cos⁡x⋅cos⁡y=sin⁡x⋅sin⁡y(\cos x \cdot \cos y + \sin x \cdot \sin y) - \cos x \cdot \cos y = \sin x \cdot \sin y
cos⁡x⋅cos⁡y\cos x \cdot \cos y terimleri zıt işaretli oldukları için birbirini götürür.
3
Bulunan pay değerini paydaya bölerek nihai trigonometrik oranı bulun.
sin⁡x⋅sin⁡ysin⁡x⋅cos⁡y=sin⁡ycos⁡y=tan⁡y\frac{\sin x \cdot \sin y}{\sin x \cdot \cos y} = \frac{\sin y}{\cos y} = \tan y
Pay ve paydadaki ortak sin⁡x\sin x çarpanları sadeleşir ve geriye kalan sin⁡ycos⁡y\frac{\sin y}{\cos y} ifadesi tanjant tanımından tan⁡y\tan y değerine eşit olur.

Anahtar Kavram

Kosinüs toplam-fark formüllerinin uygulanması ve temel trigonometrik özdeşlikler yardımıyla sadeleştirme yapılması.
Bu soruyu puanla

Konular

Toplam ve Fark Formülleri

Bu konudan daha fazla soru