Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorÜstel ve Logaritmik Denklemler
log⁡2(x2−∣x∣)⋅log⁡∣x∣(x2+∣x∣)=log⁡2(x4−x2)\log_2(x^2 - |x|) \cdot \log_{|x|}(x^2 + |x|) = \log_2(x^4 - x^2) denkleminin gerçel sayılardaki çözüm kümesi boş kümedir.

Cevap: Cevap

Cevap

Verilen denklemin tanımlı olduğu gerçel sayılar kümesinde hiçbir çözümü yoktur, dolayısıyla çözüm kümesi boş kümedir.
Denklem logaritmik tanım aralığı olan ∣x∣>1|x| > 1 üzerinde analiz edildiğinde cebirsel olarak sadeleşerek log⁡∣x∣(∣x∣−1)⋅log⁡∣x∣(∣x∣+1)=1\log_{|x|}(|x|-1) \cdot \log_{|x|}(|x|+1) = 1 halini alır. Bu denklem ise ∣x∣∈(1,2]|x| \in (1, 2] için negatif veya sıfır değerler ürettiğinden, ∣x∣>2|x| > 2 için ise logaritmanın konkavlık özellikleri ve AM-GM eşitsizliği gereği çarpım daima 1'den küçük kaldığından hiçbir gerçel sayı tarafından sağlanamaz. Dolayısıyla çözüm kümesi boş kümedir.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma fonksiyonlarının tanım kümelerini belirleyin.
log⁡2(x2−∣x∣)\log_2(x^2 - |x|) için x2−∣x∣>0  ⟹  ∣x∣>1x^2 - |x| > 0 \implies |x| > 1. log⁡∣x∣(x2+∣x∣)\log_{|x|}(x^2 + |x|) için taban ∣x∣>0,∣x∣≠1|x| > 0, |x| \neq 1 ve argüman x2+∣x∣>0x^2 + |x| > 0 (her x≠0x \neq 0 için doğrudur). log⁡2(x4−x2)\log_2(x^4 - x^2) için x4−x2>0  ⟹  x2(x2−1)>0  ⟹  ∣x∣>1x^4 - x^2 > 0 \implies x^2(x^2 - 1) > 0 \implies |x| > 1. Ortak tanım kümesi ∣x∣>1|x| > 1 aralığıdır.
Logaritmik denklemlerde elde edilen köklerin geçerliliğini kontrol etmek için öncelikle en geniş tanım kümesi belirlenmelidir.
2
Denklemin sağ tarafındaki argümanı çarpanlarına ayırın ve logaritma özelliklerini uygulayın.
x4−x2=x2(x2−1)=∣x∣2(∣x∣2−1)=(∣x∣2−∣x∣)(∣x∣2+∣x∣)=(x2−∣x∣)(x2+∣x∣)x^4 - x^2 = x^2(x^2 - 1) = |x|^2(|x|^2 - 1) = (|x|^2 - |x|)(|x|^2 + |x|) = (x^2 - |x|)(x^2 + |x|) yazılabilir. Buradan sağ taraf log⁡2(x4−x2)=log⁡2(x2−∣x∣)+log⁡2(x2+∣x∣)\log_2(x^4 - x^2) = \log_2(x^2 - |x|) + \log_2(x^2 + |x|) haline gelir.
Çarpım durumundaki argümanı toplam biçiminde yazarak sol taraftaki terimlerle ortak çarpanlar elde etmek amaçlanır.
3
a=∣x∣>1a = |x| > 1 değişken değiştirmesi yapın ve taban değiştirme kuralını uygulayın.
Denklem log⁡2(a2−a)⋅log⁡a(a2+a)=log⁡2(a2−a)+log⁡2(a2+a)\log_2(a^2 - a) \cdot \log_a(a^2 + a) = \log_2(a^2 - a) + \log_2(a^2 + a) olur. log⁡2(a2+a)=log⁡a(a2+a)⋅log⁡2a\log_2(a^2 + a) = \log_a(a^2 + a) \cdot \log_2 a ve log⁡2(a2−a)=log⁡a(a2−a)⋅log⁡2a\log_2(a^2 - a) = \log_a(a^2 - a) \cdot \log_2 a dönüşümleri yapıldığında, a>1a > 1 için log⁡2a≠0\log_2 a \neq 0 olduğundan her iki taraf log⁡2a\log_2 a ile bölünebilir. Sadeleşmiş denklem: log⁡a(a2−a)⋅log⁡a(a2+a)=log⁡a(a2−a)+log⁡a(a2+a)\log_a(a^2 - a) \cdot \log_a(a^2 + a) = \log_a(a^2 - a) + \log_a(a^2 + a) olur.
Değişken değiştirme ve taban değiştirme kuralları ile denklemi daha basit bir cebirsel forma indirgemek gerekir.
4
Elde edilen denklemi çarpanlarına ayırarak sadeleştirin.
log⁡a(a2−a)=1+log⁡a(a−1)\log_a(a^2 - a) = 1 + \log_a(a-1) ve log⁡a(a2+a)=1+log⁡a(a+1)\log_a(a^2 + a) = 1 + \log_a(a+1) yazılırsa, denklem (1+log⁡a(a−1))(1+log⁡a(a+1))=(1+log⁡a(a−1))+(1+log⁡a(a+1))(1 + \log_a(a-1))(1 + \log_a(a+1)) = (1 + \log_a(a-1)) + (1 + \log_a(a+1)) şeklini alır. Bu ifade düzenlendiğinde log⁡a(a−1)⋅log⁡a(a+1)=1\log_a(a-1) \cdot \log_a(a+1) = 1 elde edilir.
Logaritmanın çarpım özelliğini tersten kullanarak denklemi en yalın çarpım formuna getirmek amaçlanır.
5
a>1a > 1 için elde edilen log⁡a(a−1)⋅log⁡a(a+1)=1\log_a(a-1) \cdot \log_a(a+1) = 1 denkleminin çözümlerini inceleyin.
1) a∈(1,2)a \in (1, 2) için a−1<1  ⟹  log⁡a(a−1)<0a-1 < 1 \implies \log_a(a-1) < 0 ve a+1>2>a  ⟹  log⁡a(a+1)>1a+1 > 2 > a \implies \log_a(a+1) > 1. Çarpım negatif olacağından 1 olamaz. 2) a=2a = 2 için log⁡21⋅log⁡23=0≠1\log_2 1 \cdot \log_2 3 = 0 \neq 1. 3) a>2a > 2 için doğal logaritma tabanında ln⁡(a−1)ln⁡(a+1)(ln⁡a)2=1\frac{\ln(a-1)\ln(a+1)}{(\ln a)^2} = 1 durumu incelenir. ln⁡t\ln t fonksiyonunun kesin konkavlığından dolayı ln⁡(a−1)+ln⁡(a+1)2<ln⁡a\frac{\ln(a-1) + \ln(a+1)}{2} < \ln a ve AM-GM eşitsizliğinden ln⁡(a−1)ln⁡(a+1)≤ln⁡(a−1)+ln⁡(a+1)2\sqrt{\ln(a-1)\ln(a+1)} \le \frac{\ln(a-1) + \ln(a+1)}{2} yazılır. Buradan ln⁡(a−1)ln⁡(a+1)<(ln⁡a)2\ln(a-1)\ln(a+1) < (\ln a)^2 elde edilir ki bu da çarpımın her zaman 1'den küçük olduğunu gösterir. Sonuç olarak denklemin gerçel kökü yoktur.
Sınır durumları ve logaritma fonksiyonlarının analitik özellikleri yardımıyla denklemin çözüm kümesinin boş küme olduğu gösterilir.

Anahtar Kavram

Değişken değiştirme, taban değiştirme kuralları ve logaritma tanım kümesi sınırlandırmaları altında üstel/logaritmik denklemlerin çözümü ve analitik incelenmesi.
Bu soruyu puanla

Konular

Üstel ve Logaritmik Denklemler

Bu konudan daha fazla soru