x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) olmak üzere, \frac{\cos(2x)}{1 - \sin(2x)} = 3 olduğun… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)

olmak üzere,

\frac{\cos(2x)}{1 - \sin(2x)} = 3

olduğuna göre, $\cos(4x)$ ifadesinin değeri kaçtır?

Cevap: -0.28

Doğru cevap

-0.28

(veya

-\frac{7}{25}

) olmalıdır.

Verilen rasyonel trigonometrik denklem sadeleştirildiğinde

\tan x = 0.5

eşitliği elde edilir. Bu değer yardımıyla iki kez yarım açı formülü uygulanarak sırasıyla

\cos(2x) = 0.6

\cos(4x) = -0.28

değerlerine ulaşılır.

Pay ve paydadaki trigonometrik ifadeleri yarım açı formülleriyle düzenleyin.

\cos(2x) = (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)

1 - \sin(2x) = \sin^2 x + \cos^2 x - 2\sin x \cos x = (\cos x - \sin x)^2

elde edilir.

Denklemi sadeleştirmek ve

\sin x

ile

\cos x

arasındaki ilişkiyi bulmak için bu özdeşliklerin kullanılması gerekir.

Elde edilen ifadeleri denklemde yerine yazarak sadeleştirin ve

\tan x

değerini bulun.

\frac{(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)}{(\cos x - \sin x)^2} = 3 \implies \frac{\cos x + \sin x}{\cos x - \sin x} = 3 \implies \cos x + \sin x = 3\cos x - 3\sin x \implies 4\sin x = 2\cos x \implies \tan x = \frac{1}{2}

elde edilir.

x \in (0, \pi/2)

aralığında ve denklemin sonucu pozitif olduğundan

\cos x - \sin x > 0

olup sadeleştirme yapılması uygundur.

\tan x = \frac{1}{2}

bilgisini kullanarak

\cos(2x)

değerini hesaplayın.

\cos(2x) = \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x} = \frac{1 - 1/4}{1 + 1/4} = \frac{3}{5} = 0.6

elde edilir.

\cos(4x)

değerine geçiş yapabilmek için öncelikle

\cos(2x)

değerinin bulunması gerekmektedir.

\cos(2x)

değerini kullanarak kosinüsün yarım açı formülüyle

\cos(4x)

değerini hesaplayın.

\cos(4x) = 2\cos^2(2x) - 1 = 2(0.6)^2 - 1 = 0.72 - 1 = -0.28

bulunur.

\cos(2\theta) = 2\cos^2\theta - 1

çift kat açı formülüyle nihai sonuca ulaşılır.

Trigonometrik yarım açı formülleri ve özdeşliklerin sadeleştirilmesi.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru