x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) olmak üzere, \frac{\cos(4x)}{\cos(2x) - \sin(2x)} = 1.… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right)

olmak üzere,

\frac{\cos(4x)}{\cos(2x) - \sin(2x)} = 1.2

olduğuna göre, $\sin(4x)$ ifadesinin değeri kaçtır?

Cevap: 0.44

sin(4x) ifadesinin değeri 0,44 olarak bulunur.

Soruda pay kısmında verilen

\cos(4x)

terimi kosinüs yarım açı formülüyle

\cos^2(2x) - \sin^2(2x)

olarak yazılıp iki kare farkı şeklinde çarpanlarına ayrıldığında paydadaki

\cos(2x) - \sin(2x)

terimiyle sadeleşir. Kalan

\cos(2x) + \sin(2x) = 1.2

denkleminin karesi alındığında elde edilen

1 + \sin(4x) = 1.44

denkleminden aranan değer

0.44

olarak elde edilir.

Payda bulunan cos(4x) ifadesine yarım açı ve iki kare farkı özdeşliği uygulanır.

\cos(4x) = (\cos(2x) - \sin(2x))(\cos(2x) + \sin(2x))

Payda ile ortak çarpanlar elde edip sadeleştirme yapabilmek amacıyla bu dönüşüm uygulanır.

Elde edilen çarpanlar paydadaki terimle sadeleştirilir.

\cos(2x) + \sin(2x) = 1.2

Pay ve paydadaki ortak olan

(\cos(2x) - \sin(2x))

terimleri sadeleşerek ifadeyi doğrusal bir forma getirir.

Eşitliğin her iki tarafının karesi alınır.

\cos^2(2x) + 2\sin(2x)\cos(2x) + \sin^2(2x) = 1.44

Trigonometrik özdeşlikleri kullanarak sin(4x) terimini açığa çıkarmak için iki tarafın da karesi alınmalıdır.

Temel trigonometrik özdeşlikler yerine yazılır ve bilinmeyen yalnız bırakılır.

1 + \sin(4x) = 1.44 \implies \sin(4x) = 0.44

\cos^2(2x) + \sin^2(2x) = 1

2\sin(2x)\cos(2x) = \sin(4x)

eşitlikleri kullanılarak sonuca ulaşılır.

Kosinüs yarım açı formülü ile çarpanlara ayırma ve toplamın karesi özdeşliğinden sinüs yarım açı formülüne geçiş.

Soru