Examkin

Soru

Zorluk: ZorBinom Açılımı
aa bir gerçel sayı olmak üzere,
(ax−2ax2)4\left(ax - \frac{2}{ax^2}\right)^4
ifadesinin xx'in azalan kuvvetlerine göre açılımındaki x4x^4 lü terimin katsayısı AA, xx li terimin katsayısı BB ve x−2x^{-2} li terimin katsayısı CC dir.
8A+13B+12C=08A + 13B + 12C = 0

olduğuna göre, aa'nın alabileceği pozitif gerçel sayı değerlerinin toplamı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. 5Cevap
  2. B
    6
  3. C
    9
  4. D
    13
  5. E
    15

Cevap

Pozitif gerçel sayı değerlerinin toplamı 5'tir.
Genel terim formülüyle elde edilen A=a4A = a^4, B=−8a2B = -8a^2 ve C=24C = 24 değerleri verilen denklemde yerine konulduğunda a4−13a2+36=0a^4 - 13a^2 + 36 = 0 biquadratik denklemi elde edilir. Bu denklemin pozitif gerçel kökleri 22 ve 33 olduğundan, toplamları 55 değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
Genel terim formülü yazılır.
ifadenin açılımındaki genel terim: Tr+1=(4r)(ax)4−r(−2ax2)r=(4r)(−2)ra4−2rx4−3rT_{r+1} = \binom{4}{r} (ax)^{4-r} \left(-\frac{2}{ax^2}\right)^r = \binom{4}{r} (-2)^r a^{4-2r} x^{4-3r} şeklinde elde edilir.
İstenen terimlerin katsayılarını bulabilmek için genel terim ifadesine ihtiyaç duyulur.
2
x4x^4, xx ve x−2x^{-2} terimleri için rr değerleri belirlenir.
x4x^4 için 4−3r=4  ⟹  r=04-3r = 4 \implies r=0, x1x^1 için 4−3r=1  ⟹  r=14-3r = 1 \implies r=1 ve x−2x^{-2} için 4−3r=−2  ⟹  r=24-3r = -2 \implies r=2 olarak bulunur.
Katsayıları hesaplamak üzere her bir terimin açılımdaki konumunu (yani rr değerini) tespit etmek gerekir.
3
AA, BB ve CC katsayıları hesaplanır.
A=(40)(−2)0a4=a4A = \binom{4}{0} (-2)^0 a^{4} = a^4, B=(41)(−2)1a2=−8a2B = \binom{4}{1} (-2)^1 a^{2} = -8a^2 ve C=(42)(−2)2a0=24C = \binom{4}{2} (-2)^2 a^{0} = 24 olarak elde edilir.
Verilen denklemde yerine koymak üzere katsayılar aa parametresi cinsinden ifade edilir.
4
Katsayılar 8A+13B+12C=08A + 13B + 12C = 0 denklemine yerleştirilir.
8(a4)+13(−8a2)+12(24)=0  ⟹  8a4−104a2+288=08(a^4) + 13(-8a^2) + 12(24) = 0 \implies 8a^4 - 104a^2 + 288 = 0 denklemi elde edilir.
Soruda verilen katsayı ilişkisi kullanılarak aa değerini belirleyecek denklem kurulur.
5
Denklem sadeleştirilir ve çözülür.
Denklemin her iki tarafı 8'e bölündüğünde a4−13a2+36=0a^4 - 13a^2 + 36 = 0 elde edilir. u=a2u = a^2 dönüşümü yapılırsa, u2−13u+36=0  ⟹  (u−4)(u−9)=0u^2 - 13u + 36 = 0 \implies (u-4)(u-9) = 0 olur. Buradan u=4u = 4 veya u=9u = 9 bulunur. Dolayısıyla a2=4  ⟹  a=±2a^2 = 4 \implies a = \pm 2 ve a2=9  ⟹  a=±3a^2 = 9 \implies a = \pm 3 elde edilir.
Biquadratik denklemin kökleri değişken değiştirme yöntemiyle çözülür.
6
Pozitif aa değerlerinin toplamı bulunur.
Pozitif değerler 22 ve 33 olup, toplamları 2+3=52 + 3 = 5 olarak bulunur.
Soruda istenen pozitif gerçel sayı değerlerinin toplamına ulaşılır.

Anahtar Kavram

Binom açılımında genel terim katsayısı ve terimlerin bulunması
Bu soruyu puanla

Konular

Binom Açılımı

Bu konudan daha fazla soru