Examkin

Soru

Zorluk: OrtaYarım Açı Formülleri
x∈(π2,π)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)

olmak üzere,

sin⁡x+cos⁡x=15\sin x + \cos x = \frac{1}{5}

olduğuna göre, cos⁡(2x)\cos(2x) değeri kaçtır?

  1. −725-\frac{7}{25}Cevap
  2. B
    725\frac{7}{25}
  3. C
    −2425-\frac{24}{25}
  4. D
    2425\frac{24}{25}
  5. E
    −1225-\frac{12}{25}

Cevap

−725-\frac{7}{25}
Verilen toplamın karesi alınarak sin⁡(2x)=−24/25\sin(2x) = -24/25 bulunur. Ardından cos⁡2(2x)+sin⁡2(2x)=1\cos^2(2x) + \sin^2(2x) = 1 özdeşliğinden cos⁡(2x)=±7/25\cos(2x) = \pm 7/25 elde edilir. xx açısının ikinci bölgede olması ve toplamlarının pozitif olması nedeniyle x<3π/4x < 3\pi/4 olduğu anlaşılır. Böylece 2x2x açısı üçüncü bölgede yer alır ve bu bölgede kosinüs negatif olduğundan doğru cevap −725-\frac{7}{25} olur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadenin her iki tarafının karesini alarak sin⁡(2x)\sin(2x) değerini bulunuz.
(sin⁡x+cos⁡x)2=(15)2(\sin x + \cos x)^2 = \left(\frac{1}{5}\right)^2

sin⁡2x+2sin⁡xcos⁡x+cos⁡2x=125\sin^2 x + 2\sin x\cos x + \cos^2 x = \frac{1}{25}

1+sin⁡(2x)=125  ⟹  sin⁡(2x)=−24251 + \sin(2x) = \frac{1}{25} \implies \sin(2x) = -\frac{24}{25}
sin⁡(2x)\sin(2x) yarım açı formülünü elde etmek ve diğer trigonometrik fonksiyon değerlerine geçiş yapmak için.
2
sin⁡2(2x)+cos⁡2(2x)=1\sin^2(2x) + \cos^2(2x) = 1 özdeşliğini kullanarak cos⁡(2x)\cos(2x) değerinin mutlak değerini bulunuz.
cos⁡2(2x)=1−sin⁡2(2x)\cos^2(2x) = 1 - \sin^2(2x)

cos⁡2(2x)=1−(−2425)2=1−576625=49625\cos^2(2x) = 1 - \left(-\frac{24}{25}\right)^2 = 1 - \frac{576}{625} = \frac{49}{625}

∣cos⁡(2x)∣=725|\cos(2x)| = \frac{7}{25}
Kosinüs yarım açı değerinin sayısal büyüklüğünü belirlemek için.
3
Açının tanım aralığını kullanarak cos⁡(2x)\cos(2x) değerinin işaretini belirleyiniz ve sonucu yazınız.
x∈(π2,π)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) aralığında sin⁡x>0\sin x > 0 ve cos⁡x<0\cos x < 0 dır.

sin⁡x+cos⁡x=15>0  ⟹  sin⁡x>∣cos⁡x∣\sin x + \cos x = \frac{1}{5} > 0 \implies \sin x > |\cos x|

Bu durum, xx açısının ikinci bölgenin ilk yarısında yani x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) aralığında olduğunu gösterir.

Buradan, ikiyle çarptığımızda 2x∈(π,3π2)2x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) elde edilir. Üçüncü bölgede kosinüs fonksiyonu negatif olduğundan:

cos⁡(2x)=−725\cos(2x) = -\frac{7}{25}
Doğru işareti tespit edip kesin sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Kosinüs ve Sinüs Yarım Açı Formülleri ile Trigonometrik Bölge İşaret Analizi
Bu soruyu puanla

Konular

Yarım Açı Formülleri

Bu konudan daha fazla soru