x^{\log_2 x - 3} = 16 denklemini sağlayan x gerçel sayılarının toplamı kaçtır? — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

x^{\log_2 x - 3} = 16

denklemini sağlayan

x

gerçel sayılarının toplamı kaçtır?

Cevap: 16.5

Denklemi sağlayan x gerçel sayılarının toplamı 16,5'tir.

Verilen denklemin her iki tarafının 2 tabanında logaritması alındığında denklem

(\log_2 x - 3) \cdot \log_2 x = 4

biçimine dönüşür. Buradan

\log_2 x = u

dönüşümüyle

u^2 - 3u - 4 = 0

denklemi elde edilir. Bu denklemin kökleri

u = 4

u = -1

'dir. Bu değerlere karşılık gelen

x

kökleri ise sırasıyla

16

0,5

olup toplamları

16,5

'tir.

Denklemin her iki tarafının 2 tabanında logaritmasını almak.

\log_2\left(x^{\log_2 x - 3}\right) = \log_2 16 \Rightarrow (\log_2 x - 3) \cdot \log_2 x = 4

Üstel değişkeni logaritma yardımıyla tabana indirgemek için.

\log_2 x = u

dönüşümü uygulayarak denklemi ikinci dereceden bir denklem olarak yazmak ve çözmek.

u(u - 3) = 4 \Rightarrow u^2 - 3u - 4 = 0 \Rightarrow (u - 4)(u + 1) = 0 \Rightarrow u_1 = 4 \text{ ve } u_2 = -1

İkinci dereceden denklemin kök bulma yöntemlerini kullanabilmek için.

u

değerlerinden

x

değerlerine geçiş yapmak ve bulunan kökleri toplamak.

\log_2 x = 4 \Rightarrow x_1 = 2^4 = 16

\log_2 x = -1 \Rightarrow x_2 = 2^{-1} = 0,5

. Kökler toplamı:

16 + 0,5 = 16,5

Logaritma tanımını uygulayarak orijinal değişkenin değerlerini bulmak ve soruda istenen toplam işlemini gerçekleştirmek için.

Üstel ifadelerin üssünde logaritma barındıran denklemleri her iki tarafın logaritmasını alarak ve değişken değiştirerek çözme yöntemi.

Soru