Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorAçısal Momentum ve Korunumu

Sürtünmesiz yatay bir masanın merkezindeki delikten geçen hafif ve esnemeyen bir ipe bağlı mm kütleli noktasal bir cisim, rr yarıçaplı yörüngede vv çizgisel süratiyle düzgün çembersel hareket yapmaktadır. İpin delikten masanın altına sarkan ucu düşey doğrultuda yavaşça aşağıya doğru çekilerek cismin yörünge yarıçapı r2\frac{r}{2} konumuna getirilmektedir.

Buna göre, bu süreçte cismin hareketiyle ilgili;

I. Açısal momentumunun yönü değişmez.
II. Çizgisel momentumunun büyüklüğü iki katına çıkar.
III. İpi çeken kuvvetin yaptığı iş, cismin son kinetik enerjisinin 34\frac{3}{4}'üne eşittir.

yargılarından hangileri doğrudur?

  1. A
    I ve II
  2. B
    Yalnız I
  3. I, II ve IIICevap
  4. D
    I ve III
  5. E
    II ve III

Cevap

I, II ve III yargılarının tamamı doğrudur.
İpteki gerilme kuvveti dönme merkezinden geçtiği için tork oluşturmaz ve açısal momentumun yönü ile büyüklüğü korunur. Açısal momentumun korunması sebebiyle yarıçap yarıya indiğinde sürat iki katına çıkar, bu da çizgisel momentum büyüklüğünün iki katına çıkmasını sağlar. Kinetik enerji dört katına çıktığından, iş-enerji teoremine göre yapılan iş kinetik enerjideki değişime eşit olup son kinetik enerjinin dörtte üçüne karşılık gelir. Bu nedenle verilen üç yargı da doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Sisteme etki eden dış torku analiz etmek.
Cisme etki eden net dış tork sıfırdır, dolayısıyla açısal momentum (L⃗\vec{L}) hem yön hem de büyüklük olarak korunur. Açısal momentum yatay düzleme dik olup yönü değişmez.
İpteki gerilme kuvveti her an dönme merkezinden (delikten) geçtiği için tork kolu sıfırdır (vecτ=r⃗×T⃗=0\\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{T} = 0).
2
Açısal momentumun korunumunu uygulayarak son çizgisel sürati belirlemek.
Son çizgisel sürat v2=2vv_2 = 2v olur.
İlk açısal momentum L1=mvrL_1 = m v r ve son açısal momentum L2=mv2r2L_2 = m v_2 \frac{r}{2} birbirine eşittir (L1=L2  ⟹  v2=2vL_1 = L_2 \implies v_2 = 2v).
3
İlk ve son çizgisel momentum büyüklüklerini karşılaştırmak.
Son çizgisel momentum P2=2P1P_2 = 2 P_1 olur, yani çizgisel momentum büyüklüğü iki katına çıkar.
Çizgisel momentum büyüklüğü P=mvP = m v formülüyle bulunur. Kütle sabitken sürat iki katına çıktığı için momentum büyüklüğü de iki katına çıkar.
4
Yapılan işi ve bunun son kinetik enerjiyle ilişkisini hesaplamak.
Yapılan iş W=34E2W = \frac{3}{4} E_2 olur.
İlk kinetik enerji E1=12mv2E_1 = \frac{1}{2} m v^2 ve son kinetik enerji E2=12m(2v)2=4E1E_2 = \frac{1}{2} m (2v)^2 = 4 E_1 şeklindedir. İş-enerji teoremine göre yapılan iş kinetik enerjideki değişime eşittir (W=E2−E1=3E1W = E_2 - E_1 = 3 E_1). E1=E24E_1 = \frac{E_2}{4} yazılırsa W=34E2W = \frac{3}{4} E_2 bulunur.

Anahtar Kavram

Merkezi kuvvetlerin etkisi altındaki sistemlerde net tork sıfır olduğu için açısal momentum korunur. Açısal momentumun korunumu çizgisel sürati değiştirirken, iş-enerji teoremi uyarınca sisteme dışarıdan enerji aktarılır.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Açısal Momentum ve Korunumu

Bu konudan daha fazla soru