Examkin

Soru

Zorluk: OrtaYarım Açı Formülleri
x∈(3π4,π)x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right) olmak üzere,
1−sin⁡(2x)+1+sin⁡(2x)=85\sqrt{1 - \sin(2x)} + \sqrt{1 + \sin(2x)} = \frac{8}{5}
olduğuna göre, cos⁡(2x)\cos(2x) değeri kaçtır?
  1. A
    −725-\frac{7}{25}
  2. B
    2425\frac{24}{25}
  3. 725\frac{7}{25}Cevap
  4. D
    −2425-\frac{24}{25}
  5. E
    1225\frac{12}{25}

Cevap

7/25 değeri doğrudur.
Verilen denklemde her iki tarafın karesi alındığında 2+2∣cos⁡(2x)∣=64/252 + 2|\cos(2x)| = 64/25 elde edilir. Buradan ∣cos⁡(2x)∣=7/25|\cos(2x)| = 7/25 sonucuna ulaşılır. xx açısı (3π/4,π)(3\pi/4, \pi) aralığında olduğundan, 2x2x açısı (3π/2,2π)(3\pi/2, 2\pi) aralığında (4. bölgede) bulunur. 4. bölgede kosinüs fonksiyonu pozitif değerler aldığı için cos⁡(2x)=7/25\cos(2x) = 7/25 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin her iki tarafının karesini alalım.
(1−sin⁡(2x)+1+sin⁡(2x))2=(85)2\left(\sqrt{1 - \sin(2x)} + \sqrt{1 + \sin(2x)}\right)^2 = \left(\frac{8}{5}\right)^2
Kareköklü terimleri sadeleştirmek ve bilinen yarım açı özdeşliklerini kullanabilmek için.
2
Kare alma işlemini uygulayarak ifadeyi açalım.
(1−sin⁡(2x))+(1+sin⁡(2x))+2(1−sin⁡(2x))(1+sin⁡(2x))=6425(1 - \sin(2x)) + (1 + \sin(2x)) + 2\sqrt{(1 - \sin(2x))(1 + \sin(2x))} = \frac{64}{25}
Tam kare açılımı kuralını ((a+b)2=a2+b2+2ab(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab) uygulamak için.
3
İfadeyi sadeleştirip temel trigonometrik özdeşliği kullanalım.
2+21−sin⁡2(2x)=6425  ⟹  2+2cos⁡2(2x)=64252 + 2\sqrt{1 - \sin^2(2x)} = \frac{64}{25} \implies 2 + 2\sqrt{\cos^2(2x)} = \frac{64}{25}
1−sin⁡2θ=cos⁡2θ1 - \sin^2\theta = \cos^2\theta özdeşliğini yerine koyarak kök içini basitleştirmek için.
4
Kareköklü ifadeyi mutlak değer dışına çıkarıp denklemi çözelim.
2+2∣cos⁡(2x)∣=6425  ⟹  2∣cos⁡(2x)∣=1425  ⟹  ∣cos⁡(2x)∣=7252 + 2|\cos(2x)| = \frac{64}{25} \implies 2|\cos(2x)| = \frac{14}{25} \implies |\cos(2x)| = \frac{7}{25}
Kök dışına çıkan çift dereceli terimlerin mutlak değer alması gerektiği kuralını uygulamak için.
5
2x2x açısının bölgesine göre işareti belirleyelim.
x∈(3π4,π)  ⟹  2x∈(3π2,2π)x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right) \implies 2x \in \left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right)
Bu aralık koordinat düzleminde 4. bölgedir. 4. bölgede kosinüs fonksiyonunun işareti pozitif olduğundan ∣cos⁡(2x)∣=cos⁡(2x)|\cos(2x)| = \cos(2x) olur. Buradan cos⁡(2x)=725\cos(2x) = \frac{7}{25} elde edilir.
Tanım kümesini kullanarak mutlak değerin işaretini belirlemek ve doğru sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Yarım açı formülleri, tam kare açılımı ve trigonometrik fonksiyonların bölgelere göre işaret analizi.
Bu soruyu puanla

Konular

Yarım Açı Formülleri

Bu konudan daha fazla soru