Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÜstel ve Logaritmik Denklemler
log⁡2(2x+6)=2x−3\log_2(2^x + 6) = 2x - 3

denklemini sağlayan xx gerçel sayısı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    1+log⁡231 + \log_2 3
  2. 2+log⁡232 + \log_2 3Cevap
  3. C
    33
  4. D
    22
  5. E
    −2-2

Cevap

İki artı logaritma iki tabanında üç
Verilen denklem düzenlendiğinde 2x+6=(2x)282^x + 6 = \frac{(2^x)^2}{8} ikinci dereceden denklemi elde edilir. Bu denklemde 2x=t2^x = t dönüşümü yapıldığında t2−8t−48=0t^2 - 8t - 48 = 0 bulunur. Bu denklemin pozitif kökü t=12t = 12 olduğundan 2x=122^x = 12 eşitliği kurulur. Buradan x=log⁡212=2+log⁡23x = \log_2 12 = 2 + \log_2 3 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritmalı denklemi, logaritma tanımını kullanarak üstel forma dönüştürün.
2x+6=22x−32^x + 6 = 2^{2x - 3}
Logaritma tanımı gereğince log⁡a(b)=c  ⟺  b=ac\log_a(b) = c \iff b = a^c eşitliği uygulanır.
2
Eşitliğin sağ tarafındaki üstel ifadeyi taban özellikleri yardımıyla düzenleyin.
22x−3=22x23=(2x)282^{2x - 3} = \frac{2^{2x}}{2^3} = \frac{(2^x)^2}{8}
Tabanları aynı olan üslü ifadelerde bölme ve üssün üssü kuralları uygulanarak değişken de��iştirilmeye uygun hale getirilir.
3
2x=t2^x = t değişken değiştirmesini yapın (burada t>0t > 0 olmalıdır).
t+6=t28  ⟹  t2−8t−48=0t + 6 = \frac{t^2}{8} \implies t^2 - 8t - 48 = 0
İfadeyi ikinci dereceden bir bilinmeyenli denkleme dönüştürerek ç��zümü kolaylaştırmak amaçlanır.
4
Elde edilen ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak köklerini bulun.
(t−12)(t+4)=0  ⟹  t=12 veya t=−4(t - 12)(t + 4) = 0 \implies t = 12 \text{ veya } t = -4
Çarpımları −48-48 ve toplamları −8-8 olan iki sayı belirlenerek denklem çarpanlarına ayrılır.
5
Değişken değiştirme koşuluna göre kökleri kontrol edin.
t=12  ⟹  2x=12t = 12 \implies 2^x = 12
2x2^x üstel ifadesi her xx gerçel sayısı için daima pozitif olmak zorundadır. Bu nedenle t=−4t = -4 kökü (2x=−42^x = -4) çözüm kümesine dahil edilemez.
6
2x=122^x = 12 eşitliğini logaritma yardımıyla çözün ve sadeleştirin.
x=log⁡212=log⁡2(4⋅3)=log⁡24+log⁡23=2+log⁡23x = \log_2 12 = \log_2(4 \cdot 3) = \log_2 4 + \log_2 3 = 2 + \log_2 3
Logaritmanın çarpım kuralı (log⁡a(x⋅y)=log⁡ax+log⁡ay\log_a(x \cdot y) = \log_a x + \log_a y) kullanılarak ifade sade bir forma dönüştürülür.

Anahtar Kavram

Logaritmik denklemlerin üstel formlara dönüştürülmesi, değişken değiştirme yöntemiyle ikinci dereceden denklem analizi ve üstel ifadelerin tanım kümesi sınırlamaları.

Alternatif Yöntem

Denklemde seçenekler tek tek xx yerine yazılarak eşitliğin sağlanıp sağlanmadığı kontrol edilebilir. Doğru cevap olan x=2+log⁡23=log⁡212x = 2 + \log_2 3 = \log_2 12 değeri denklemde yerine yazıldığında, sol taraf log⁡2(12+6)=log⁡218\log_2(12 + 6) = \log_2 18 olur. Sağ taraf ise 2log⁡212−3=log⁡2144−log⁡28=log⁡2(144/8)=log⁡2182\log_2 12 - 3 = \log_2 144 - \log_2 8 = \log_2(144/8) = \log_2 18 olur. İki taraf birbirine eşit olduğundan çözüm doğrulanır.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Üstel ve Logaritmik Denklemler

Bu konudan daha fazla soru