Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÜstel ve Logaritmik Denklemler
3⋅9x−10⋅3x+3=03 \cdot 9^x - 10 \cdot 3^x + 3 = 0 denkleminin gerçel köklerinin çarpımı −1-1'dir.

Cevap: Cevap

Cevap

Verilen ifade doğrudur, denklemin gerçel köklerinin çarpımı -1'dir.
Verilen ifade doğrudur çünkü denklemin gerçel kökleri x=1x = 1 ve x=−1x = -1 olup çarpımları −1-1'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Denklemde uygun bir değişken dönüşümü yaparak denklemi ikinci dereceden denklem formuna getirin.
3x=t3^x = t (t>0t > 0) dönüşümü uygulanırsa 9x=(3x)2=t29^x = (3^x)^2 = t^2 olur. Denklem 3t2−10t+3=03t^2 - 10t + 3 = 0 halini alır.
Üstel denklemi çözülebilir ikinci dereceden bir cebirsel denkleme dönüştürmek amacıyla.
2
Elde edilen ikinci dereceden denklemin köklerini çarpanlara ayırma yöntemiyle bulun.
3t2−10t+3=0  ⟹  (3t−1)(t−3)=03t^2 - 10t + 3 = 0 \implies (3t - 1)(t - 3) = 0 eşitliğinden t1=3t_1 = 3 ve t2=13t_2 = \frac{1}{3} elde edilir.
tt değişkenine bağlı denklemin köklerini belirlemek amacıyla.
3
Bulunan tt değerlerini kullanarak asıl değişken olan xx değerlerini (köklerini) hesaplayın.
3x=3  ⟹  x1=13^x = 3 \implies x_1 = 1 ve 3x=13  ⟹  x2=−13^x = \frac{1}{3} \implies x_2 = -1 gerçel kökleri elde edilir.
3x=t3^x = t dönüşümünü geri alarak asıl denklemin çözüm kümesine ulaşmak için.
4
Elde edilen gerçel köklerin çarpımını hesaplayarak ifadenin doğruluğunu kontrol edin.
x1⋅x2=1⋅(−1)=−1x_1 \cdot x_2 = 1 \cdot (-1) = -1 bulunur.
Denklemin kökler çarpımı iddiasının doğruluğunu doğrulamak için.

Anahtar Kavram

Değişken değiştirme yöntemiyle üstel denklemlerin çözümü ve kök özelliklerinin incelenmesi
Bu soruyu puanla

Konular

Üstel ve Logaritmik Denklemler

Bu konudan daha fazla soru