x bir gerçel sayı olmak üzere, \sin^4 x + \cos^4 x = \frac{5}{8} olduğuna göre, \cos(4x) d… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

x

bir gerçel sayı olmak üzere,

\sin^4 x + \cos^4 x = \frac{5}{8}

olduğuna göre,

\cos(4x)

değeri kaçtır?

Cevap: -0.5

İfadenin doğru değeri -0.5'tir.

Verilen

\sin^4 x + \cos^4 x = \frac{5}{8}

eşitliği, temel özdeşlikler ve sinüs yarım açı formülü yardımıyla

1 - \frac{1}{2}\sin^2(2x) = \frac{5}{8}

biçimine dönüştürülür. Buradan

\sin^2(2x) = \frac{3}{4}

bulunur. İstenen

\cos(4x)

değeri ise kosinüsün yarım açı formülü olan

\cos(4x) = 1 - 2\sin^2(2x)

eşitliğinde yerine yazılarak

1 - 2\left(\frac{3}{4}\right) = -0.5

olarak elde edilir.

\sin^4 x + \cos^4 x

ifadesini özdeşlikler yardımıyla düzenlemek

1 - 2\sin^2 x \cos^2 x

Trigonometrik özdeşlikleri yarım açı formülleriyle ilişkilendirebilmek için dereceyi düşürmek

\sin(2x) = 2\sin x \cos x

formülünü kullanarak ifadeyi tek değişkene indirgemek

1 - \frac{1}{2}\sin^2(2x)

Sinüsün yarım açı formülünü ifadeye dahil etmek

İfadeyi verilen sayısal değere eşitleyerek

\sin^2(2x)

değerini yalnız bırakmak

\sin^2(2x) = \frac{3}{4}

\cos(4x)

değerine geçiş yaparken kullanılacak olan

\sin^2(2x)

değerini belirlemek

Kosinüs yarım açı formülünü kullanıp sonucu hesaplamak

-0.5

\cos(4x)

ifadesini

\sin^2(2x)

cinsinden yazıp hesaplamayı tamamlamak

Kosinüs ve sinüs fonksiyonlarında yarım/iki kat açı formüllerinin uygulanması ve temel özdeşliklerin kullanımı.

Soru