Examkin

Soru

Zorluk: OrtaYarım Açı Formülleri
x∈(0,π4)x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) olmak üzere,
1−sin⁡(2x)+sin⁡x=08\sqrt{1 - \sin(2x)} + \sin x = 0{}8
olduğuna göre, cos⁡(2x)\cos(2x) ifadesinin ondalık değeri kaçtır?

Cevap: 0.28

Cevap

İfadenin ondalık değeri 0,28'dir.
Karekök içerisindeki tam kare ifade mutlak değer kullanılarak dışarı çıkarılır. Verilen tanım kümesinde kosinüs değeri sinüs değerinden büyük olduğu için ifade aynen çıkar ve sadeleşerek kosinüs değerini verir. Kosinüs yarım açı formülü uygulanarak doğru sonuca ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
1−sin⁡(2x)1 - \sin(2x) ifadesini tam kare şeklinde yazalım.
1−sin⁡(2x)=cos⁡2x−2sin⁡xcos⁡x+sin⁡2x=(cos⁡x−sin⁡x)21 - \sin(2x) = \cos^2 x - 2\sin x \cos x + \sin^2 x = (\cos x - \sin x)^2 elde edilir.
Karekök dışına çıkarma işlemini yapabilmek için ifadenin tam kare formunu belirlemeliyiz.
2
Karekök içerisindeki ifadeyi dışarı çıkaralım ve verilen eşitliği sadeleştirelim.
x∈(0,π/4)x \in (0, \pi/4) aralığında cos⁡x>sin⁡x\cos x > \sin x olduğundan, (cos⁡x−sin⁡x)2=∣cos⁡x−sin⁡x∣=cos⁡x−sin⁡x\sqrt{(\cos x - \sin x)^2} = |\cos x - \sin x| = \cos x - \sin x olur. Buradan, (cos⁡x−sin⁡x)+sin⁡x=cos⁡x=08(\cos x - \sin x) + \sin x = \cos x = 0{}8 bulunur.
Verilen açı aralığına göre trigonometrik değerlerin büyüklük sıralamasını belirleyerek mutlak değer dışına doğru çıkarmak gerekir.
3
Kosinüs yarım açı formülünü kullanarak cos⁡(2x)\cos(2x) değerini hesaplayalım.
cos⁡(2x)=2cos⁡2x−1\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1 formülünden, cos⁡(2x)=2(08)2−1=2(064)−1=128−1=028\cos(2x) = 2(0{}8)^2 - 1 = 2(0{}64) - 1 = 1{}28 - 1 = 0{}28 bulunur.
Bulunan cos⁡x\cos x değerini yarım açı formülünde yerine yazarak istenen cos⁡(2x)\cos(2x) değerine ulaşırız.

Anahtar Kavram

Kosinüs Yarım Açı Formülü ve Mutlak Değerli Trigonometrik İfadeler
Bu soruyu puanla

Konular

Yarım Açı Formülleri

Bu konudan daha fazla soru