Hava direncinin ihmal edildiği bir ortamda, yatay düzlem üzerindeki K noktasından eğik ola… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Hava direncinin ihmal edildiği bir ortamda, yatay düzlem üzerindeki K noktasından eğik olarak fırlatılan bir cisim L noktasına düşüyor. Cismin yörüngesinin tepe noktasındaki (maksimum yükseklikteki) hızının büyüklüğü $v$ , yere çarptığı andaki hızının büyüklüğü ise $\sqrt{5}v$ ’dir. Buna göre, cismin menzili olan yatay $x$ uzaklığının, çıkabildiği maksimum yükseklik olan $h_{\text{maks}}$ değerine oranı ( $\frac{x}{h_{\text{maks}}}$ ) kaçtır?

A
1
B
3
2Cevap
D
4
E
8

Cevap

Cismin menzilinin maksimum yüksekliğine oranı 2'dir.

Cismin tepe noktasında yalnızca yatay hız bileşeni (

v_x = v

) bulunur. Yere çarptığı andaki hızı ise yatay ve düşey hız bileşenlerinin dik bileşkesidir.

\sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{5}v

bağıntısından düşey hız bileşeninin büyüklüğü

v_y = 2v

olarak bulunur. Maksimum yükseklik formülü (

h_{\text{maks}} = \frac{v_y^2}{2g}

) ve menzil formülü (

x = v_x \cdot \frac{2v_y}{g}

) kullanılarak oranlandığında sonucun 2 olduğu görülür.

Adım Adım Çözüm

Tepe noktasındaki ve yere çarpma anındaki hız ilişkisini kullanarak düşey hız bileşenini belirlemek.

v_{0y} = 2v

Eğik atış hareketinde yatay hız bileşeni sabittir. Tepe noktasında düşey hız sıfır olduğundan cismin hızı sadece yatay bileşenden oluşur (

v_x = v

). Cismin yere çarpma hız�� yatay ve düşey hız bileşenlerinin vektörel toplamıdır:

v_{\text{yer}} = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{5}v

. Buradan

v^2 + v_y^2 = 5v^2 \Rightarrow v_y = 2v

bulunur.

Maksimum yükseklik (

h_{\text{maks}}

) ve havada kalma süresi (

t_{\text{uçuş}}

) ifadelerini yazmak.

h_{\text{maks}} = \frac{2v^2}{g}

t_{\text{uçuş}} = \frac{4v}{g}

Düşey hız bileşeni

v_{0y} = 2v

olan cismin çıkabileceği maksimum yükseklik

h_{\text{maks}} = \frac{v_{0y}^2}{2g} = \frac{4v^2}{2g} = \frac{2v^2}{g}

olur. Tepe noktasına çıkış süresi

t_{\text{çıkış}} = \frac{v_{0y}}{g} = \frac{2v}{g}

olup toplam uçuş süresi bunun iki kat��dır (

t_{\text{uçuş}} = \frac{4v}{g}

Cismin yatayda aldığı yolu (menzil) bulmak ve bu değerin maksimum yüksekliğe oranını hesaplamak.

\frac{x}{h_{\text{maks}}} = 2

Menzil, sabit yatay hız ile toplam uçuş süresinin çarpımıyla bulunur:

x = v_x \cdot t_{\text{uçuş}} = v \cdot \frac{4v}{g} = \frac{4v^2}{g}

. Buradan oran:

\frac{x}{h_{\text{maks}}} = \frac{\frac{4v^2}{g}}{\frac{2v^2}{g}} = 2

elde edilir.

Anahtar Kavram

Eğik atış hareketinde yatay hız bileşeninin sabitliği ve düşey doğrultudaki sabit ivmeli hareketin bağımsızlığı.

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru