Examkin

Soru

Zorluk: OrtaToplam ve Fark Formülleri
a−b=π3a - b = \frac{\pi}{3} olmak üzere,
(cos⁡a+cos⁡b)2+(sin⁡a+sin⁡b)2(\cos a + \cos b)^2 + (\sin a + \sin b)^2

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevap: 3 / 3.0

Cevap

İfadenin değeri 3'tür.
Parantez kareler açılıp toplandığında sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 özdeşliği ve kosinüs fark formülü olan cos⁡(a−b)=cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b\cos(a-b) = \cos a\cos b + \sin a\sin b kullanılarak ifade 2+2cos⁡(a−b)2 + 2\cos(a-b) şeklinde sadeleşir. a−b=π/3a-b = \pi/3 için cos⁡(π/3)=1/2\cos(\pi/3) = 1/2 olduğundan sonuç 2+2(1/2)=32 + 2(1/2) = 3 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Parantez kareleri a��ılır.
(cos⁡a+cos⁡b)2=cos⁡2a+2cos⁡acos⁡b+cos⁡2b(\cos a + \cos b)^2 = \cos^2 a + 2\cos a\cos b + \cos^2 b ve (sin⁡a+sin⁡b)2=sin⁡2a+2sin⁡asin⁡b+sin⁡2b(\sin a + \sin b)^2 = \sin^2 a + 2\sin a\sin b + \sin^2 b ifadeleri elde edilir.
İfadeleri sadeleştirebilmek için öncelikle parantez açılımını yapmalıyız.
2
Elde edilen ifadeler taraf tarafa toplanır ve aynı açıya sahip terimler gruplandırılır.
(cos⁡2a+sin⁡2a)+(cos⁡2b+sin⁡2b)+2(cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b)(\cos^2 a + \sin^2 a) + (\cos^2 b + \sin^2 b) + 2(\cos a\cos b + \sin a\sin b) ifadesi elde edilir.
Trigonometrinin temel özdeşliklerini ve toplam-fark formüllerini kullanabilmek için.
3
cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos^2 x + \sin^2 x = 1 temel özdeşliği uygulanır.
1+1+2(cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b)=2+2(cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b)1 + 1 + 2(\cos a\cos b + \sin a\sin b) = 2 + 2(\cos a\cos b + \sin a\sin b) elde edilir.
Aynı açıya sahip sinüs ve kosinüs karelerinin toplamını sadeleştirmek için.
4
Kosinüs fark formülü uygulanır.
cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b=cos⁡(a−b)\cos a\cos b + \sin a\sin b = \cos(a-b) olduğundan, ifade 2+2cos⁡(a−b)2 + 2\cos(a-b) haline gelir.
Toplam ve fark formüllerini kullanarak iki değişkenli ifadeyi tek bir açı cinsinden yazmak için.
5
Verilen a−b=π3a-b = \frac{\pi}{3} değeri yerine yazılır.
2+2cos⁡(π3)=2+2⋅12=32 + 2\cos(\frac{\pi}{3}) = 2 + 2 \cdot \frac{1}{2} = 3 bulunur.
Sonuca ulaşmak için bilinen açı değerini yerine yerleştiririz.

Anahtar Kavram

Kosinüs Fark Formülü

Alternatif Yöntem

İfadeyi karmaşık sayılar veya vektörlerin skaler çarpımı yardımıyla da modellemek mümkündür; ancak parantez kare açılımı ve fark formülü en doğrudan çözümdür.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Toplam ve Fark Formülleri

Bu konudan daha fazla soru