Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorPermütasyon

Kübra, elindeki 6 farklı renkteki boya kalemini kullanarak yan yana dizilmiş 6 bölmeli bir kutuyu boyayacaktır. Boyama işlemiyle ilgili aşağıdaki koşullar bilinmektedir:

* Her bölme farklı bir renkle boyanacaktır.
* Mavi ve yeşil renkli bölmeler yan yana olmayacaktır.
* Sarı renkli bölme, kırmızı renkli bölmenin solunda yer alacaktır.
* Turuncu renkli bölme, mor renkli bölmenin hemen sağında yer alacaktır.

Buna göre, Kübra bu kutuyu kaç farklı şekilde boyayabilir?

  1. A
    24
  2. 36Cevap
  3. C
    48
  4. D
    60
  5. E
    72

Cevap

Kübra bu kutuyu 36 farklı şekilde boyayabilir.
Mor ve turuncu bölmeler tek bir nesne olarak kabul edildiğinde toplam nesne sayısı 5 olur. Bu nesnelerin kendi aralarındaki diziliminde sarı bölmenin kırmızı bölmenin solunda olduğu 60 farklı durum vardır. Mavi ve yeşilin yan yana geldiği 24 durum bu 60 durumdan çıkarıldığında geriye koşullara uyan 36 farklı sıralama kalır.

Adım Adım Çözüm

1
Mor ve turuncu bölmelerin yan yana olma durumunu tek bir blok olarak tanımlama.
Turuncu bölme mor bölmenin hemen sağında olacağı için bu iki bölme (Mor-Turuncu) şeklinde tek bir grup olarak düşünülür. Bu grubun kendi içinde yer değiştirme hakkı yoktur (sadece tek bir sıra mümkündür). Böylece elimizde 5 farklı nesne kalır: Mavi (M), Yeşil (Y), Sarı (S), Kırmızı (K) ve (Mor-Turuncu) grubu.
Koşullardan biri iki elemanın belirli bir sırada yan yana olmasını gerektirmektedir.
2
Sarı ve kırmızı bölmelerin konum ilişkisine göre olası tüm sıralamaları hesaplama.
Mavi ve yeşil bölmelerin yan yana olmama koşulunu şimdilik göz ardı ederek, elimizdeki 5 nesnenin toplam sıralama sayısı 5!=1205! = 120 olur. Sarı bölmenin kırmızı bölmenin solunda yer aldığı durumlar, simetri gereği tüm durumların yarısı kadardır. Dolayısıyla 120/2=60120 / 2 = 60 farklı sıralama elde edilir.
İki nesnenin birbirine göre sağda veya solda olma durumlarının sayısı tüm durumların yarısına eşittir.
3
Mavi ve yeşil bölmelerin yan yana geldiği istenmeyen durumları hesaplama.
Mavi ve yeşil bölmelerin yan yana olduğu durumları bulmak için bu iki bölmeyi de tek bir blok (Mavi-Yeşil) olarak gruplarız. Bu blok kendi içinde (Mavi-Yeşil) veya (Yeşil-Mavi) olmak üzere 2!=22! = 2 farklı şekilde sıralanabilir. Bu durumda elimizde 4 nesne kalır: (Mavi-Yeşil) grubu, Sarı, Kırmızı ve (Mor-Turuncu) grubu. Bu 4 nesnenin sıralanma sayısı 4!=244! = 24'tür. Sarı bölmenin kırmızı bölmenin solunda olduğu durumlar yine simetri gereği yarısı kadardır: 24/2=1224 / 2 = 12. Mavi ve yeşil kendi arasında 22 farklı şekilde yer değiştirebileceği için istenmeyen durumların toplam sayısı 12×2=2412 \times 2 = 24 olur.
Mavi ve yeşil bölmelerin yan yana olmama koşulunu sağlamak amacıyla, yan yana oldukları durumların sayısını tüm durumlardan çıkarmamız gerekir.
4
İstenmeyen durumları tüm durumlardan çıkararak sonucu bulma.
60−24=3660 - 24 = 36 farklı geçerli boyama şekli bulunur.
Kümelerdeki tümleme prensibi kullanılarak istenen koşulun sağlandığı durum sayısı hesaplanır.

Anahtar Kavram

Koşullu doğrusal permütasyon ve tümleme yöntemi
Bu soruyu puanla

Konular

Permütasyon

Bu konudan daha fazla soru