Köşeleri A(-4, 0), B(0, 4) ve C(4, 0) noktaları olan bir üçgenin üst sınır çizgisi y = f(x… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Köşeleri $A(-4, 0)$ , $B(0, 4)$ ve $C(4, 0)$ noktaları olan bir üçgenin üst sınır çizgisi $y = f(x)$ fonksiyonunun grafiğidir. Pozitif $k$ ve $m$ gerçel sayıları için $g(x) = k \cdot f(m \cdot x)$ fonksiyonu oluşturuluyor.

$g(0) = 8$ olduğu ve $g$ fonksiyonunun grafiği ile $x$ -ekseni arasında kalan kapalı bölgenin alanının $8$ birimkare olduğu bilindiğine göre, $k + m$ toplamı ka��tır?

Cevap: 6

Cevap

k + m toplamının değeri 6'dır.

g(x) = k \cdot f(m \cdot x)

dönüşümünde,

k

katsayısı fonksiyonu dikey doğrultuda esnetirken (

y

-değerlerini

k

ile çarpar),

m

katsayısı fonksiyonu yatay doğrultuda sıkıştırır (

x

-değerlerini

m

'ye böler).

g(0) = 8

bilgisiyle

k = 2

bulunmuş ve alanın

16

birimkareden

8

birimkareye düşmesi kullanılarak yatayda

4

kat sıkıştırma yapıldığı belirlenmiştir (

m = 4

). Bu iki değerin toplamı olan

2 + 4 = 6

doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

f(x)

fonksiyonunun grafiği ile

x

-ekseni arasında kalan bölgenin alanını hesaplayalım.

f(x)

grafiği köşeleri

A(-4, 0)

B(0, 4)

C(4, 0)

olan bir üçgen oluşturur. Bu üçgenin taban uzunluğu

8

birim ve yüksekliği

4

birimdir. Alanı ise

\frac{8 \times 4}{2} = 16

birimkaredir.

g(x)

fonksiyonunun alan dönüşümünü bulabilmek için öncelikle

f(x)

fonksiyonunun sınırladığı alanı bilmemiz gerekir.

g(0) = 8

eşitliğini kullanarak

k

dikey esnetme katsayısını bulalım.

g(0) = k \cdot f(m \cdot 0) = k \cdot f(0)

yazılır.

f(0) = 4

olduğundan,

g(0) = 4k = 8

elde edilir. Buradan

k = 2

bulunur.

y

-ekseni üzerindeki noktaların apsisi sıfır olduğundan, yatay sıkıştırma katsayısı

m

bu noktadaki değeri etkilemez ve doğrudan dikey esnetme katsayısı

k

'yi bulmamızı sağlar.

g(x)

fonksiyonunun grafiği ile

x

-ekseni arasında kalan alan bilgisini kullanarak

m

yatay sıkıştırma katsayısını bulalım.

Dikey esnetme katsayısı

k = 2

ve yatay sıkıştırma katsayısı

m

(

m > 0

) olan

g(x) = k \cdot f(m \cdot x)

fonksiyonunun sınırladığı alan,

f(x)

'in alanının

\frac{k}{m}

katıdır. Buradan

\text{Alan}(g) = \frac{k}{m} \cdot \text{Alan}(f) \Rightarrow 8 = \frac{2}{m} \cdot 16 \Rightarrow 8 = \frac{32}{m} \Rightarrow m = 4

bulunur.

Bir fonksiyon

y

-doğrultusunda

k

katına çıkarıldığında alan

k

katına çıkar,

x

-doğrultusunda

m

kat sıkıştırıldığında (yani

x

değerleri

m

'ye bölündüğünde) alan

\frac{1}{m}

katına iner.

k

m

değerlerini toplayarak sonucu bulalım.

k + m = 2 + 4 = 6

bulunur.

Soruda bizden istenen

k + m

toplamıdır.

Anahtar Kavram

Fonksiyonların yatay ve dikey doğrultuda esnetilmesi ve sıkıştırılması dönüşümleri altında alan ve koordinat değişimleri.

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru