Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÜstel ve Logaritmik Denklemler
log⁡2(x2−x)=log⁡2(3x−3)\log_2(x^2 - x) = \log_2(3x - 3) denkleminin gerçel sayılardaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
  1. A
    {1,3}\{1, 3\}
  2. B
    {1}\{1\}
  3. {3}\{3\}Cevap
  4. D
    {−1,3}\{-1, 3\}
  5. E
    {3,4}\{3, 4\}

Cevap

Çözüm kümesi yalnızca 3 elemanından oluşur.
Verilen denklemin cebirsel çözümü yapıldığında elde edilen köklerden yalnızca 3 değeri logaritma fonksiyonlarının tanım kümesi olan x>1x > 1 koşulunu sağlar. Diğer aday kök olan 1 değeri logaritmanın içini sıfır yaparak tanımsızlığa yol açtığından çözüm kümesine dahil edilmez. Bu sebeple çözüm kümesi tek elemanlıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma fonksiyonlarının tanımlı olması için gerekli olan tanım aralıklarını belirleyin.
x2−x>0⇒x(x−1)>0⇒x<0x^2 - x > 0 \Rightarrow x(x-1) > 0 \Rightarrow x < 0 veya x>1x > 1 ve 3x−3>0⇒x>13x - 3 > 0 \Rightarrow x > 1 bulunur. Bu iki koşulun kesişimi alındığında denklemin tanım kümesi x>1x > 1 aralığı olarak belirlenir.
Logaritmanın tanımı gereği taban ve logaritması alınan ifade sıfırdan büyük olmalıdır.
2
Tabanları eşit olan logaritma ifadelerinin iç kısımlarını birbirine eşitleyerek cebirsel denklemi çözün.
x2−x=3x−3⇒x2−4x+3=0x^2 - x = 3x - 3 \Rightarrow x^2 - 4x + 3 = 0 elde edilir. Bu ifade çarpanlarına ayrıldığında (x−3)(x−1)=0(x-3)(x-1) = 0 olur ve aday kökler x=3x = 3 veya x=1x = 1 olarak bulunur.
log⁡a(f(x))=log⁡a(g(x))⇒f(x)=g(x)\log_a(f(x)) = \log_a(g(x)) \Rightarrow f(x) = g(x) kuralı uygulanarak logaritmik denklem ikinci dereceden bir denkleme dönüştürülür.
3
Bulunan aday kökleri başlangıçta elde edilen tanım kümesi (x>1x > 1) ile karşılaştırarak doğruluğunu kontrol edin.
x=1x = 1 değeri tanım kümesinde yer almaz (1>11 > 1 sağlanmaz ve logaritmanın içini sıfır yaparak tanımsız kılar). x=3x = 3 değeri ise tanım kümesindedir (3>13 > 1). Bu nedenle çözüm kümesi sadece  3 \ {3\ } elemanından oluşur.
Elde edilen tüm cebirsel köklerin orijinal fonksiyonda tanımsızlık yaratıp yaratmadığı kontrol edilmelidir.

Anahtar Kavram

Logaritmik denklemlerde cebirsel köklerin tanım kümesine uygunluğunun denetlenmesi
Bu soruyu puanla

Konular

Üstel ve Logaritmik Denklemler

Bu konudan daha fazla soru