Examkin

Soru

Zorluk: ZorYarım Açı Formülleri
x∈(3π4,π)x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right) olmak üzere,
1+sin⁡(2x)+cos⁡(2x)1+sin⁡(2x)−cos⁡(2x)=−2\frac{1 + \sin(2x) + \cos(2x)}{1 + \sin(2x) - \cos(2x)} = -2
olduğuna göre, cot⁡(x2)\cot\left(\frac{x}{2}\right) ifadesinin değeri kaçtır?
  1. 5−2\sqrt{5} - 2Cevap
  2. B
    5+2\sqrt{5} + 2
  3. C
    2−52 - \sqrt{5}
  4. D
    5−1\sqrt{5} - 1
  5. E
    1−51 - \sqrt{5}

Cevap

5−2\sqrt{5} - 2
Verilen ifade sadeleştirildiğinde cot⁡(x)=−2\cot(x) = -2 elde edilir. İkinci bölgede cos⁡(x)<0\cos(x) < 0 ve sin⁡(x)>0\sin(x) > 0 olduğu dikkate alınarak değerler cos⁡(x)=−25\cos(x) = -\frac{2}{\sqrt{5}} ve sin⁡(x)=15\sin(x) = \frac{1}{\sqrt{5}} olarak bulunur. Buradan cot⁡(x2)=1+cos⁡(x)sin⁡(x)\cot\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1 + \cos(x)}{\sin(x)} yarım açı formülüyle 5−2\sqrt{5} - 2 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen rasyonel ifadenin pay ve paydasındaki terimleri yarım açı formüllerini kullanacak şekilde gruplandıralım.
1+cos⁡(2x)=2cos⁡2(x)1 + \cos(2x) = 2\cos^2(x) ve 1−cos⁡(2x)=2sin⁡2(x)1 - \cos(2x) = 2\sin^2(x) özdeşliklerini ve sin⁡(2x)=2sin⁡(x)cos⁡(x)\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) yarım açı formülünü yerlerine yazalım.
İfadeyi sadeleştirmek ve cot⁡(x)\cot(x) cinsinden yazmak için.
2
Elde edilen ifadeleri ortak çarpan parantezine alarak sadeleştirelim.
2cos⁡2(x)+2sin⁡(x)cos⁡(x)2sin⁡2(x)+2sin⁡(x)cos⁡(x)=2cos⁡(x)(cos⁡(x)+sin⁡(x))2sin⁡(x)(sin⁡(x)+cos⁡(x))=cot⁡(x)\frac{2\cos^2(x) + 2\sin(x)\cos(x)}{2\sin^2(x) + 2\sin(x)\cos(x)} = \frac{2\cos(x)(\cos(x) + \sin(x))}{2\sin(x)(\sin(x) + \cos(x))} = \cot(x) elde edilir. Buradan cot⁡(x)=−2\cot(x) = -2 bulunur.
Sadeleşen ortak çarpanı sadeleştirerek bilinmeyenin değerini bulmak için.
3
x∈(3π4,π)x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right) aralığını kullanarak sin⁡(x)\sin(x) ve cos⁡(x)\cos(x) değerlerini belirleyelim.
Bu aralık ikinci bölgede yer aldığından cos⁡(x)<0\cos(x) < 0 ve sin⁡(x)>0\sin(x) > 0 olur. cot⁡(x)=−2\cot(x) = -2 olduğundan komşu dik kenar 22, karşı dik kenar 11 ve hipotenüs 5\sqrt{5} birim alınarak cos⁡(x)=−25\cos(x) = -\frac{2}{\sqrt{5}} ve sin⁡(x)=15\sin(x) = \frac{1}{\sqrt{5}} bulunur.
Yarım açı formülünde kullanılacak değerlerin işaretlerini ve büyüklüklerini doğru belirlemek için.
4
cot⁡(x2)\cot\left(\frac{x}{2}\right) değerini yarım açı formülüyle hesaplayalım.
cot⁡(x2)=1+cos⁡(x)sin⁡(x)=1−2515=5−2\cot\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1 + \cos(x)}{\sin(x)} = \frac{1 - \frac{2}{\sqrt{5}}}{\frac{1}{\sqrt{5}}} = \sqrt{5} - 2 olarak bulunur.
Yarım açıdan tam açıya geçiş formülünü uygulayarak sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Yarım açı formüllerini kullanarak trigonometrik ifadeleri sadeleştirme ve açı değerlerini yarım açı cinsinden hesaplama.
Bu soruyu puanla

Konular

Yarım Açı Formülleri

Bu konudan daha fazla soru