Examkin

Soru

Zorluk: ZorÜstel ve Logaritmik Denklemler
(log⁡x(12−x)−1)⋅log⁡12−x(x4)=2log⁡x(12−x)−2(\log_x(12-x) - 1) \cdot \log_{12-x}(x^4) = 2\log_x(12-x) - 2

denklemini sağlayan xx gerçel sayılarının toplamı kaçtır?

  1. A
    5
  2. 9Cevap
  3. C
    3
  4. D
    15
  5. E
    6

Cevap

9
Denklemi çözmek için öncelikle logaritma taban değiştirme özelliği kullanılarak değişken değiştirme yapılır. log_x(12-x) ifadesine t denildiğinde, diğer logaritmik ifade 4/t olur. Denklem ortak çarpan parantezine alınarak çözüldüğünde t değerleri 1 ve 2 olarak bulunur. Bu değerlerden elde edilen x değerleri sırasıyla 6 ve 3'tür (x = -4 değeri taban pozitifliği kuralı gereği elenir). Bu geçerli köklerin toplamı 9 değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
Değişken tanımlama ve logaritma özelliklerinin uygulanması
log⁡x(12−x)=t\log_x(12-x) = t dönüşümü yapıldığında taban değiştirme kuralı gereğince log⁡12−x(x4)=4log⁡12−x(x)=4t\log_{12-x}(x^4) = 4\log_{12-x}(x) = \frac{4}{t} olur.
Denklemi tek bir değişken cinsinden ifade ederek çözülebilir hale getirmek.
2
Dönüştürülmüş denklemin kurulması ve çözülmesi
(t−1)⋅4t=2(t−1)  ⟹  (t−1)(4t−2)=0(t-1) \cdot \frac{4}{t} = 2(t-1) \implies (t-1)\left(\frac{4}{t} - 2\right) = 0 denkleminden t=1t = 1 veya t=2t = 2 elde edilir.
Ortak çarpan parantezine alarak denklemin köklerini bulmak.
3
Bulunan t değerleri için x değişkeninin hesaplanması
t=1  ⟹  log⁡x(12−x)=1  ⟹  x=6t = 1 \implies \log_x(12-x) = 1 \implies x = 6. t=2  ⟹  log⁡x(12−x)=2  ⟹  12−x=x2  ⟹  x2+x−12=0  ⟹  (x+4)(x−3)=0  ⟹  x=3t = 2 \implies \log_x(12-x) = 2 \implies 12-x = x^2 \implies x^2 + x - 12 = 0 \implies (x+4)(x-3) = 0 \implies x = 3 veya x=−4x = -4 bulunur.
Logaritmik ifadeleri üstel biçime çevirerek orijinal değişkeni bulmak.
4
Tanım kümesi kontrolünün yapılması ve toplamın bulunması
x>0x > 0 ve x≠1x \neq 1 olması gerektiğinden x=−4x = -4 elenir. Geçerli kökler x=3x = 3 ve x=6x = 6 olup, toplamları 3 + 6 = 9 olur.
Logaritmanın tanımı gereği taban ve argümanın pozitif olması koşulunu test etmek.

Anahtar Kavram

Logaritmik denklemlerde taban değiştirme, değişken değiştirme ve tanım kümesi sınırlandırmaları.
Bu soruyu puanla

Konular

Üstel ve Logaritmik Denklemler

Bu konudan daha fazla soru