\log_2(x) + \log_2(x-2) = 3 denkleminin gerçel sayılardaki çözüm kümesi aşağıdakilerden ha… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

\log_2(x) + \log_2(x-2) = 3

denkleminin gerçel sayılardaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

Denkleminin gerçel sayılardaki çözüm kümesi

\{4\}

şeklindedir.

Verilen denklemde logaritma özellikleri kullanıldığında

x(x-2) = 2^3 = 8

eşitliği elde edilir. Buradan

x^2 - 2x - 8 = 0

denkleminin kökleri

4

-2

olarak bulunur. Logaritmanın tanım kümesi gereği logaritma içi pozitif olmalıdır.

x > 2

şartını sağlayan tek kök

4

olduğundan çözüm kümesi yalnızca bu elemanı içerir.

Tanım kümesini belirleme

x > 0

x - 2 > 0 \Rightarrow x > 2

olmalıdır.

Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için argümanlarının sıfırdan büyük olması gerekir.

Logaritma özelliğini uygulayarak denklemi düzenleme

\log_2(x \cdot (x-2)) = 3

Aynı tabandaki logaritmaların toplamı, argümanların çarpımının logaritmasına eşittir:

\log_b(a) + \log_b(c) = \log_b(a \cdot c)

Logaritma tanımını kullanarak denklemi üslü biçimde yazma

x(x-2) = 2^3 \Rightarrow x^2 - 2x = 8

\log_b(y) = c \Rightarrow y = b^c

özelliğinden yararlanılır.

İkinci dereceden denklemi çözme

x^2 - 2x - 8 = 0 \Rightarrow (x-4)(x+2) = 0 \Rightarrow x = 4

veya

x = -2

Denklemin köklerini bulmak için çarpanlara ayırma yöntemi uygulanır.

Kökleri tanım kümesine göre kontrol etme

x = 4

değeri

x > 2

şartını sağlar, ancak

x = -2

değeri bu şartı sağlamaz. Bu yüzden çözüm kümesi yalnızca

4

elemanından oluşur.

Başlangıçta belirlenen tanım kümesi şartına uymayan değerler çözüm kümesine dahil edilemez.

Logaritmik denklemlerin çözümünde logaritma özelliklerinin doğru uygulanması ve bulunan köklerin tanım kümesi şartlarına uygunluğunun denetlenmesi.

Soru