Examkin

Soru

Zorluk: KolayÜstel ve Logaritmik Denklemler
log⁡2(x2−1)−log⁡2(x−1)=3\log_2(x^2 - 1) - \log_2(x - 1) = 3

denklemini sağlayan xx gerçel sayısı kaçtır?

  1. A
    9
  2. B
    8
  3. 7Cevap
  4. D
    3
  5. E
    1

Cevap

Denklemi sağlayan xx gerçel sayısı 7'dir.
Logaritmanın fark özelliği kullanılarak denklem düzenlendiğinde log⁡2(x+1)=3\log_2(x + 1) = 3 elde edilir. Buradan x+1=23=8x + 1 = 2^3 = 8 ve x=7x = 7 bulunur. 7 değeri tanım kümesini (x>1x > 1) sağladığı için denklemi doğrulayan tek gerçel sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma fonksiyonlarının tanım kümesi belirlenir.
x2−1>0x^2 - 1 > 0 ve x−1>0x - 1 > 0 olmalıdır. Buradan ortak çözüm kümesi x>1x > 1 olarak bulunur.
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için argümanının sıfırdan büyük olması gerekir.
2
Logaritmanın fark özelliği kullanılarak ifade tek bir logaritma altında birleştirilir.
log⁡2(x2−1x−1)=3\log_2\left(\frac{x^2 - 1}{x - 1}\right) = 3
log⁡b(A)−log⁡b(B)=log⁡b(AB)\log_b(A) - \log_b(B) = \log_b\left(\frac{A}{B}\right) özelliğini uygulamak için.
3
Logaritmanın içindeki rasyonel ifade çarpanlarına ayrılarak sadeleştirilir.
x2−1=(x−1)(x+1)x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) olduğundan, x>1x > 1 için x−1x - 1 terimleri sadeleşir ve denklem log⁡2(x+1)=3\log_2(x + 1) = 3 halini alır.
Denklemi daha basit bir birinci dereceden denkleme indirgemek için.
4
Logaritma tanımı kullanılarak üslü ifadeye geçiş yapılır.
x+1=23  ⟹  x+1=8  ⟹  x=7x + 1 = 2^3 \implies x + 1 = 8 \implies x = 7 bulunur.
log⁡b(y)=a  ⟹  y=ba\log_b(y) = a \implies y = b^a tanımını uygulamak için.
5
Bulunan değerin tanım kümesine uygunluğu kontrol edilir.
x=7x = 7 değeri x>1x > 1 koşulunu sağladığından denklemin çözümüdür.
Bulunan kökün başlangıçtaki denklemi tanımsız yapmadığından emin olmak için.

Anahtar Kavram

Logaritmik denklemlerin fark özelliğiyle düzenlenmesi ve tanım kümesi kontrolünün yapılması.
Tahmini Süre:1m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Üstel ve Logaritmik Denklemler

Bu konudan daha fazla soru