Examkin

Soru

Zorluk: ZorToplam ve Fark Formülleri
Bir ABCABC üçgeninde, tan⁡A\tan A ve tan⁡B\tan B değerleri
x2−5x+3=0x^2 - 5x + 3 = 0
denkleminin kökleridir.

Buna göre, tan⁡C\tan C değeri kaçtır?

  1. A
    54\frac{5}{4}
  2. B
    −52-\frac{5}{2}
  3. 52\frac{5}{2}Cevap
  4. D
    −54-\frac{5}{4}
  5. E
    32\frac{3}{2}

Cevap

Tanjant değeri beş b��lü iki olan seçenektir.
Üçgenin iç açılar toplamından tan⁡C=−tan⁡(A+B)\tan C = -\tan(A+B) yazılır. Verilen denklemin kökleri tan⁡A\tan A ve tan⁡B\tan B olduğundan, kökler toplamı 55, kökler çarpımı ise 33 olur. Tanjant toplam formülünden tan⁡(A+B)=51−3=−52\tan(A+B) = \frac{5}{1-3} = -\frac{5}{2} bulunur. Buradan tan⁡C=−(−52)=52\tan C = -(-\frac{5}{2}) = \frac{5}{2} elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Üçgenin iç açılarının toplamı bağıntısını kullanarak CC açısını AA ve BB türünden ifade etme
C=180∘−(A+B)C = 180^\circ - (A+B) ve buradan tan⁡C=tan⁡(180∘−(A+B))=−tan⁡(A+B)\tan C = \tan(180^\circ - (A+B)) = -\tan(A+B)
ABCABC üçgeninde A+B+C=180∘A+B+C = 180^\circ olduğundan iki açının toplamının bütünleri olan açının tanjantı, toplamın tanjantının ters işaretlisine eşittir.
2
Kökler toplamı ve çarpımı formüllerini (Vieta formülleri) uygulama
tan⁡A+tan⁡B=5\tan A + \tan B = 5 ve tan⁡A⋅tan⁡B=3\tan A \cdot \tan B = 3
tan⁡A\tan A ve tan⁡B\tan B değerleri x2−5x+3=0x^2 - 5x + 3 = 0 denkleminin kökleri olduğundan kökler toplamı −b/a-b/a ve kökler çarpımı c/ac/a bağıntıları kullanılır.
3
Tanjant toplam formülünü kullanarak tan⁡(A+B)\tan(A+B) değerini hesaplama
tan⁡(A+B)=51−3=−52\tan(A+B) = \frac{5}{1-3} = -\frac{5}{2}
tan⁡(A+B)=tan⁡A+tan⁡B1−tan⁡A⋅tan⁡B\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \cdot \tan B} formülü kullanılır.
4
tan⁡C\tan C değerini bulma
tan⁡C=−(−52)=52\tan C = -\left(-\frac{5}{2}\right) = \frac{5}{2}
İlk adımda elde edilen tan⁡C=−tan⁡(A+B)\tan C = -\tan(A+B) bağıntısında tan⁡(A+B)\tan(A+B) değeri yerine yazılır.

Anahtar Kavram

Bir üçgenin iç açılarının toplamı ve tanjant toplam formülünün ikinci dereceden denklemlerin kök katsayı ilişkileriyle birlikte uygulanması
Bu soruyu puanla

Konular

Toplam ve Fark Formülleri

Bu konudan daha fazla soru