\log_2(x+2) + \log_2(x-4) = 4 denklemini sağlayan x gerçel sayılarının çarpımı kaçtır? — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

\log_2(x+2) + \log_2(x-4) = 4

denklemini sağlayan

x

gerçel sayılarının çarpımı kaçtır?

Denklemi sağlayan x gerçel sayılarının çarpımı 6'dır.

Logaritmanın tanım kümesi gereği

x > 4

olmalıdır. Denklemin çözümünden elde edilen

x = 6

x = -4

köklerinden yalnızca

6

bu koşulu sağlar. Bu nedenle denklemi sağlayan

x

değerlerinin çarpımı 6'dır.

Logaritma fonksiyonlarının tanımlı olabilmesi için gerekli olan tanım kümelerini belirlemek.

x > 4

olmalıdır.

Logaritmanın tanımı gereği argümanlar pozitif olmalıdır. Buradan

x+2 > 0 \implies x > -2

x-4 > 0 \implies x > 4

elde edilir. Bu iki eşitsizliğin ortak çözümü

x > 4

aralığıdır.

Logaritmanın toplama özelliğini kullanarak denklemi tek bir logaritma altında birleştirmek.

\log_2((x+2)(x-4)) = 4

Aynı tabandaki iki logaritmanın toplamı, içlerinin çarpımının logaritmasına eşittir:

\log_a(u) + \log_a(v) = \log_a(u \cdot v)

Logaritma tanımını uygulayarak logaritmalı ifadeyi üstel ifadeye dönüştürmek ve ikinci dereceden denklemi elde etmek.

x^2 - 2x - 24 = 0

\log_2(A) = 4 \implies A = 2^4 = 16

olur. Buradan

(x+2)(x-4) = 16 \implies x^2 - 2x - 8 = 16 \implies x^2 - 2x - 24 = 0

denklemi bulunur.

Elde edilen ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak olası kökleri bulmak.

x = 6

veya

x = -4

x^2 - 2x - 24 = 0 \implies (x-6)(x+4) = 0

olur. Buradan denklemin kökleri

x = 6

x = -4

olarak bulunur.

Bulunan köklerin logaritmanın tanım kümesine uygunluğunu kontrol etmek.

x = 6

(tek geçerli kök).

x > 4

koşulunu yalnızca

x = 6

değeri sağlar.

x = -4

değeri logaritmanın içini negatif yapacağından çözüm kümesine dahil edilemez. Dolayısıyla denklemi sağlayan tek değer

6

'dır ve bu değerlerin çarpımı da

6

olur.

Üstel ve Logaritmik Denklemler ile Logaritmanın Tanım Kümesi

Soru