\left(x^2 + \frac{2}{y}\right)^n ifadesinin açılımında x^6 \cdot y^{-5}'li bir terim bulun… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

\left(x^2 + \frac{2}{y}\right)^n

ifadesinin açılımında $x^6 \cdot y^{-5}$ 'li bir terim bulunduğuna göre, $n$ kaçtır?

Cevap: 8

Aranan n sayısı 8'dir.

Verilen binom açılımının genel terimi yazıldığında y'nin üssünün -r olduğu görülür. Açılımdaki terimde

y^{-5}

bulunduğundan r = 5 olmalıdır. x'in üssü ise

2n-2r = 2n-10

olur. Terimdeki

x^6

çarpanından ötürü

2n-10 = 6

denklemi çözüldüğünde n = 8 olarak elde edilir.

Genel terim formülü yazılır.

\left(x^2 + \frac{2}{y}\right)^n

ifadesinin açılımındaki genel terim:

T_{r+1} = \binom{n}{r} (x^2)^{n-r} \left(\frac{2}{y}\right)^r = \binom{n}{r} 2^r x^{2n-2r} y^{-r}

şeklindedir.

Binom açılımında belirli bir terimin değişkenlerinin üslerini belirlemek için genel terim formülü kullanılır.

y değişkeninin üssü eşitlenerek r değeri bulunur.

y^{-r} = y^{-5} \implies r = 5

olarak bulunur.

Açılımdaki terimin

x^6 \cdot y^{-5}

biçiminde olduğu belirtildiğinden, y'nin üssü -5 olmalıdır.

x değişkeninin üssü eşitlenerek n değeri bulunur.

x^{2n-2r} = x^6 \implies 2n - 2r = 6

elde edilir. Bulunan

r = 5

değeri yerine yazıldığında:

2n - 2(5) = 6 \implies 2n - 10 = 6 \implies 2n = 16 \implies n = 8

elde edilir.

Terimdeki x'in üssü 6 olduğundan, genel terimdeki x'in üssü 6'ya eşitlenmelidir.

Binom Açılımı Genel Terim Formülü

Tahmini Süre:2m 0s

Soru