Examkin

Soru

Zorluk: OrtaToplam ve Fark Formülleri
arctan⁡(2)+arctan⁡(3)\arctan(2) + \arctan(3)

ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    −π4-\frac{\pi}{4}
  2. B
    π4\frac{\pi}{4}
  3. 3π4\frac{3\pi}{4}Cevap
  4. D
    5π4\frac{5\pi}{4}
  5. E
    7π4\frac{7\pi}{4}

Cevap

Üç pi bölü dört ifadesi doğru cevaptır.
Ters tanjant fonksiyonlarının tanımından dolayı elde edilen dar açılar sırasıyla pi bölü dörtten büyüktür. Bu iki açının toplamı ikinci bölgede bulunmalıdır. Tanjant toplam formülü kullanılarak toplamın tanjant değeri eksi bir olarak hesaplanır. İkinci bölgede tanjantı eksi bir olan tek açı üç pi bölü dört olduğundan doğru yanıt bu değerdir.

Adım Adım Çözüm

1
Ters trigonometrik ifadeleri değişkenlere atayarak tanjant değerlerini bulalım.
x=arctan⁡(2)⇒tan⁡x=2x = \arctan(2) \Rightarrow \tan x = 2
y=arctan⁡(3)⇒tan⁡y=3y = \arctan(3) \Rightarrow \tan y = 3 elde edilir. Bizden istenen değer x+yx + y toplamıdır.
Ters trigonometrik ifadeleri daha kolay işlem yapabilmek için bilinen trigonometrik oranlara dönüştürmek gerekir.
2
Açıların hangi bölgede yer aldığını belirleyerek toplam açının sınırlarını bulalım.
2>1⇒arctan⁡(2)>π42 > 1 \Rightarrow \arctan(2) > \frac{\pi}{4}
3>1⇒arctan⁡(3)>π43 > 1 \Rightarrow \arctan(3) > \frac{\pi}{4} olduğundan, x+y>π2x + y > \frac{\pi}{2} olur. Ayrıca x<π2x < \frac{\pi}{2} ve y<π2y < \frac{\pi}{2} olduğundan, x+y<πx + y < \pi elde edilir. Yani x+y∈(π2,π)x + y \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) aralığındadır (2. bölge).
Ters fonksiyonların görüntü kümeleri sınırlı olduğundan, toplam açının hangi bölgeye düştüğünü bilmek doğru açıyı seçmek için kritiktir.
3
Tanjant toplam formülünü uygulayarak toplamın tanjant değerini hesaplayalım.
tan⁡(x+y)=tan⁡x+tan⁡y1−tan⁡x⋅tan⁡y\tan(x + y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \cdot \tan y}
tan⁡(x+y)=2+31−2⋅3=5−5=−1\tan(x + y) = \frac{2 + 3}{1 - 2 \cdot 3} = \frac{5}{-5} = -1 bulunur.
Toplam açının tanjant değerini elde etmek için toplam formülünden yararlanırız.
4
Bulunan tanjant değerine ve bölgeye uygun olan açıyı tespit edelim.
Tanjantı −1-1 olan ve ikinci bölgede (π2,π)\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) yer alan açı x+y=3π4x + y = \frac{3\pi}{4} radyandır.
Tanjant değeri ve açı bölgesi birleştirilerek tekil çözüme ulaşılır.

Anahtar Kavram

Toplam ve Fark Formülleri
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Toplam ve Fark Formülleri

Bu konudan daha fazla soru