n bir pozitif tam sayı olmak üzere, \left(2x - \frac{1}{x^2}\right)^n ifadesinin açılımınd… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

$n$ bir pozitif tam sayı olmak üzere,

\left(2x - \frac{1}{x^2}\right)^n

ifadesinin açılımındaki terimlerin katsayılarının mutlak değerlerinin toplamı $729$ dur.

Buna göre, bu açılımdaki sabit terim kaçtır?

Sabit terim 240 olarak bulunur.

Açılımdaki terimlerin katsayılarının mutlak değerlerinin toplamı

(2+1)^n = 3^n = 729

eşitliğinden

n=6

olarak bulunur. Genel terim ifadesinde sabit terimi elde etmek için

x

'in kuvveti sıfıra eşitlenerek

r=2

elde edilir. Bu değer yerine yazıldığında sabit terim

240

olarak hesaplanır.

Açılımdaki terimlerin katsayılarının mutlak değerlerinin toplamını veren ifadeyi yazmak.

Genel terim

\binom{n}{r} (2x)^{n-r} (-x^{-2})^r = \binom{n}{r} 2^{n-r} (-1)^r x^{n-3r}

şeklindedir. Katsayıların mutlak değerleri toplamı

\sum_{r=0}^n \binom{n}{r} 2^{n-r} |-1|^r = (2+1)^n = 3^n

olur.

Katsayılar��n mutlak değerlerinin toplamı, terimlerdeki negatif işaretlerin pozitif yapılmasıyla elde edilen binom açılımına eşittir.

n

değerini belirlemek.

3^n = 729 \implies n = 6

olarak bulunur.

729

sayısı

3

tabanında

3^6

olarak ifade edilir.

Sabit terimi bulmak için değişkenin üssünü sıfıra eşitlemek.

n=6

için genel terim

\binom{6}{r} 2^{6-r} (-1)^r x^{6-3r}

olur. Sabit terimde

x

'in kuvveti sıfır olmalıdır:

6 - 3r = 0 \implies r = 2

bulunur.

Sabit terim, değişken içermeyen yani değişkenin kuvvetinin sıfır olduğu terimdir.

r=2

değerini genel terimde yerine yazarak sabit terimi hesaplamak.

Sabit terim:

\binom{6}{2} 2^{6-2} (-1)^2 = 15 \cdot 2^4 \cdot 1 = 15 \cdot 16 = 240

olarak hesaplanır.

Genel terim formülünde bulunan değerler yerine yazılarak sabit terim katsayısı elde edilir.

Binom açılımında katsayılar toplamı, katsayıların mutlak değerleri toplamı ve sabit terim hesabı.

Soru