Examkin

Soru

Zorluk: OrtaYarım Açı Formülleri
x∈(0,π4)x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) olmak üzere,
sin⁡(4x)sin⁡(2x)−sin⁡(2x)cos⁡(2x)=3\frac{\sin(4x)}{\sin(2x) - \sin(2x)\cos(2x)} = 3
olduğuna göre, tan⁡x\tan x değeri kaçtır?

Cevap: 0.5

Cevap

Verilen ifade sadeleştirildiğinde cos⁡(2x)=35\cos(2x) = \frac{3}{5} denklemine ulaşılır. Bu değerden yarım açı formülü yardımıyla, belirtilen aralıkta tan⁡x\tan x değeri 0.50.5 olarak bulunur.
Verilen denklemde pay sin⁡(4x)=2sin⁡(2x)cos⁡(2x)\sin(4x) = 2\sin(2x)\cos(2x) şeklinde açılıp payda sin⁡(2x)\sin(2x) parantezine alındığında, sin⁡(2x)\sin(2x) terimleri sadeleşerek 2cos⁡(2x)1−cos⁡(2x)=3\frac{2\cos(2x)}{1-\cos(2x)} = 3 denklemi elde edilir. Bu denklem çözüldüğünde cos⁡(2x)=0.6\cos(2x) = 0.6 bulunur. x∈(0,π/4)x \in (0, \pi/4) aralığı için cos⁡(2x)=1−tan⁡2x1+tan⁡2x\cos(2x) = \frac{1-\tan^2 x}{1+\tan^2 x} özdeşliği kullanılarak tan⁡x=0.5\tan x = 0.5 değeri tek olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Payda bulunan sin⁡(4x)\sin(4x) ifadesine yarım açı formülünü uygulamak
2sin⁡(2x)cos⁡(2x)2\sin(2x)\cos(2x)
Değişkenlerin derecesini düşürmek ve paydadaki terimlerle sadeleştirme yapabilmek için yarım açı formülü kullanılmıştır.
2
Paydayı ortak çarpan parantezine almak
sin⁡(2x)(1−cos⁡(2x))\sin(2x)(1 - \cos(2x))
Payda kısmındaki ortak sin⁡(2x)\sin(2x) terimlerini gruplayarak sadeleştirmeye hazır hale getirmek hedeflenmiştir.
3
İfadeyi sadeleştirmek ve içler dışlar çarpımı yapmak
cos⁡(2x)=35\cos(2x) = \frac{3}{5}
Pay ve paydadaki sin⁡(2x)\sin(2x) terimleri sadeleştirilerek elde edilen basit rasyonel denklem çözülmüştür.
4
Kosinüs yarım açı formülü yardımıyla tanjant değerine geçiş yapmak
tan⁡x=0.5\tan x = 0.5
cos⁡(2x)=1−tan⁡2x1+tan⁡2x\cos(2x) = \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x} formülü uygulanıp x∈(0,π4)x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) bölge koşulu dikkate alınarak pozitif kök bulunmuştur.

Anahtar Kavram

Yarım açı formülleri yardımıyla trigonometrik denklemleri sadeleştirme ve çözme.
Bu soruyu puanla

Konular

Yarım Açı Formülleri

Bu konudan daha fazla soru