Examkin

Soru

Zorluk: ZorToplam ve Fark Formülleri
Bir kenar uzunluğu 44 birim olan ABCDABCD karesinde, EE noktası [BC][BC] kenarının orta noktasıdır. [CD][CD] kenarı üzerinde alınan bir FF noktası için
∣CF∣=3∣FD∣|CF| = 3|FD|
eşitliği sağlanmaktadır.

[AE][AE] ve [BF][BF] doğru parçaları KK noktasında kesiştiğine göre, tan⁡(BKE^)\tan(\widehat{BKE}) değeri kaçtır?

  1. 112\frac{11}{2}Cevap
  2. B
    211\frac{2}{11}
  3. C
    2
  4. D
    12\frac{1}{2}
  5. E
    92\frac{9}{2}

Cevap

11/2
Kesişim noktasındaki BKE^\widehat{BKE} açısının ölçüsü 90∘−(β−α)90^\circ - (\beta - \alpha) olarak elde edilir. Bu açının tanjantı, tümler açı indirgemesiyle cot⁡(β−α)\cot(\beta - \alpha) değerine eşittir. Tanjant fark formülü kullanılarak tan⁡(β−α)=211\tan(\beta - \alpha) = \frac{2}{11} hesaplandığından, bunun çarpmaya göre tersi olan cot⁡(β−α)\cot(\beta - \alpha) değeri 112\frac{11}{2} olur.

Adım Adım Çözüm

1
Kare üzerindeki kenar uzunluklarını ve dik üçgenlerin kenarlarını belirleyelim.
ABCDABCD karesinin bir kenarı 44 birimdir. EE noktası [BC][BC]'nin orta noktası olduğundan ∣BE∣=∣EC∣=2|BE| = |EC| = 2 birimdir. ∣CF∣=3∣FD∣|CF| = 3|FD| ve ∣CD∣=4|CD| = 4 birim olduğundan ∣CF∣=3|CF| = 3 birim ve ∣FD∣=1|FD| = 1 birim olur.
Trigonometrik oranları yazabilmek için ilgili dik üçgenlerin kenar uzunluklarını bulmamız gerekir.
2
Yardımcı açıları tanımlayarak tanjant değerlerini hesaplayalım.
BAE^=α\widehat{BAE} = \alpha olsun. ABEABE dik üçgeninde (dik köşe BB) tan⁡α=∣BE∣∣AB∣=24=12\tan \alpha = \frac{|BE|}{|AB|} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} olur.
CBF^=β\widehat{CBF} = \beta olsun. BCFBCF dik üçgeninde (dik köşe CC) tan⁡β=∣CF∣∣BC∣=34\tan \beta = \frac{|CF|}{|BC|} = \frac{3}{4} olur.
Kesişim noktasındaki açıyı bu iki açının trigonometrik oranları yardımıyla ifade etmek amacıyla tanjant değerleri bulunur.
3
Kesişim açısı olan BKE^\widehat{BKE} açısını α\alpha ve β\beta açıları cinsinden ifade edelim.
ABCDABCD bir kare olduğundan ABC^=90∘\widehat{ABC} = 90^\circ ve dolayısıyla ABK^=90∘−β\widehat{ABK} = 90^\circ - \beta olur. ABKABK üçgeninin iç açılar toplamından:
AKB^+KAB^+KBA^=180∘  ⟹  AKB^+α+(90∘−β)=180∘\widehat{AKB} + \widehat{KAB} + \widehat{KBA} = 180^\circ \implies \widehat{AKB} + \alpha + (90^\circ - \beta) = 180^\circ
AKB^=90∘+(β−α)\widehat{AKB} = 90^\circ + (\beta - \alpha)
bulunur. A,K,EA, K, E noktaları doğrusal olduğundan, BKE^\widehat{BKE} ve AKB^\widehat{AKB} bütünler a��ılardır:
BKE^=180∘−AKB^=90∘−(β−α)\widehat{BKE} = 180^\circ - \widehat{AKB} = 90^\circ - (\beta - \alpha)
elde edilir.
Aranan açının ölçüs��nü, tanjant farkı bilinen açılarla ilişkilendirmek için üçgenin iç açılar toplamı ve bütünler açı kuralları uygulanır.
4
Tanjant fark formülünü uygulayarak tan⁡(BKE^)\tan(\widehat{BKE}) değerini hesaplayalım.
tan⁡(BKE^)=tan⁡(90∘−(β−α))=cot⁡(β−α)=1tan⁡(β−α)\tan(\widehat{BKE}) = \tan(90^\circ - (\beta - \alpha)) = \cot(\beta - \alpha) = \frac{1}{\tan(\beta - \alpha)} şeklindedir.
Öncelikle tan⁡(β−α)\tan(\beta - \alpha) fark formülünü uygulayalım:
tan⁡(β−α)=tan⁡β−tan⁡α1+tan⁡β⋅tan⁡α=34−121+34⋅12=141+38=14118=211\tan(\beta - \alpha) = \frac{\tan \beta - \tan \alpha}{1 + \tan \beta \cdot \tan \alpha} = \frac{\frac{3}{4} - \frac{1}{2}}{1 + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{4}}{1 + \frac{3}{8}} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{11}{8}} = \frac{2}{11}
Buradan,
tan⁡(BKE^)=1tan⁡(β−α)=1211=112\tan(\widehat{BKE}) = \frac{1}{\tan(\beta - \alpha)} = \frac{1}{\frac{2}{11}} = \frac{11}{2}
bulunur.
Tümler açıların indirgeme kuralı ve tanjant fark formülü yardımıyla sayısal sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

İki açının farkının tanjant ve kotanjant formülleri ile dik üçgende trigonometrik oranların geometrik uygulamaları.
Bu soruyu puanla

Konular

Toplam ve Fark Formülleri

Bu konudan daha fazla soru