Examkin

Soru

Zorluk: ZorÜstel ve Logaritmik Denklemler
log⁡3(x2−8x+16)−log⁡x−4(1729)=8\log_3(x^2 - 8x + 16) - \log_{x-4}\left(\frac{1}{729}\right) = 8 denklemini sağlayan xx gerçel sayılarının toplamı kaçtır?

Cevap: 38

Cevap

Denklemi sağlayan xx gerçel sayılarının toplamı 38'dir.
Verilen denklemde öncelikle logaritmaların tanımlı olma şartları incelenir. İkinci terimin tabanı olan x−4x-4 ifadesi pozitif ve 11 den farklı olmalıdır. Buradan x>4x > 4 ve x≠5x \neq 5 elde edilir. Bu aralıkta x2−8x+16=(x−4)2x^2-8x+16 = (x-4)^2 olduğundan ilk terim 2log⁡3(x−4)2\log_3(x-4) şeklinde yazılabilir. İkinci terim ise taban değiştirme kuralı kullanılarak 6log⁡3(x−4)\frac{6}{\log_3(x-4)} haline getirilir. Denklemde u=log⁡3(x−4)u = \log_3(x-4) dönüşümü yapıldığında 2u+6u=82u + \frac{6}{u} = 8 denklemi elde edilir. Bu denklem düzenlendiğinde u2−4u+3=0u^2-4u+3=0 olur ve kökleri u=1u=1 ile u=3u=3 olarak bulunur. Dönüşüm geri uygulandığında log⁡3(x−4)=1  ⟹  x=7\log_3(x-4)=1 \implies x=7 ve log⁡3(x−4)=3  ⟹  x=31\log_3(x-4)=3 \implies x=31 elde edilir. Her iki değer de tanım kümesi şartlarını sağladığından denklemin kökleridir ve bu köklerin toplamı 3838 dir.

Adım Adım Çözüm

1
Tanım kümesini belirleme
x>4x > 4 ve x≠5x \neq 5
Logaritmanın tanımı gereği, taban pozitif ve 1'den farklı olmalı, argüman ise pozitif olmalıdır. x−4>0x-4 > 0, x−4≠1x-4 \neq 1 ve x2−8x+16>0x^2-8x+16 > 0 koşullarından bu aralık elde edilir.
2
Logaritma ifadelerini sadeleştirme
log⁡3(x2−8x+16)=2log⁡3(x−4)\log_3(x^2 - 8x + 16) = 2\log_3(x-4) ve −log⁡x−4(1729)=6log⁡3(x−4)-\log_{x-4}\left(\frac{1}{729}\right) = \frac{6}{\log_3(x-4)}
x2−8x+16=(x−4)2x^2-8x+16 = (x-4)^2 olduğundan ve x−4>0x-4>0 aralığında çalıştığımızdan kuvvet başa çarpım olarak alınabilir. Taban değiştirme kuralı yardımıyla ikinci logaritma 3 tabanına çevrilir.
3
Değişken değiştirme ve denklem çözümü
u=1u = 1 ve u=3u = 3
u=log⁡3(x−4)u = \log_3(x-4) dönüşümü yapıldığında elde edilen 2u+6u=82u + \frac{6}{u} = 8 denklemi düzenlenerek u2−4u+3=0u^2-4u+3=0 ikinci dereceden denklemine dönüştürülür ve çarpanlarına ayrılarak çözülür.
4
xx değerlerini bulma ve tanım kümesi kontrolü
x1=7x_1 = 7 ve x2=31x_2 = 31
u=1  ⟹  log⁡3(x−4)=1  ⟹  x−4=3  ⟹  x=7u = 1 \implies \log_3(x-4) = 1 \implies x-4 = 3 \implies x = 7 olur. u=3  ⟹  log⁡3(x−4)=3  ⟹  x−4=27  ⟹  x=31u = 3 \implies \log_3(x-4) = 3 \implies x-4 = 27 \implies x = 31 olur. Her iki değer de x>4x > 4 ve x≠5x \neq 5 şartını sa��ladığından denklemin kökleridir.
5
Kökler toplamını hesaplama
7+31=387 + 31 = 38
Bulunan geçerli köklerin toplamı alınarak nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Üstel ve logaritmik denklemlerin çözümünde taban değiştirme kuralı, logaritma özellikleri ve değişken değiştirme yöntemlerinin tanım kümesi sınırları göz önünde bulundurularak uygulanması.
Bu soruyu puanla

Konular

Üstel ve Logaritmik Denklemler

Bu konudan daha fazla soru