Examkin

Soru

Zorluk: ZorBinom Açılımı
aa sıfırdan farklı bir gerçel sayı olmak üzere,
(ax2−1ax)8\left(ax^2 - \frac{1}{ax}\right)^8
ifadesinin xx'in azalan kuvvetlerine göre açılımında x7x^7 li terimin katsayıs�� −224-224 olduğuna göre, xx li terimin katsayısı kaçtır?
  1. A
    -512
  2. B
    -224
  3. C
    -28
  4. -14Cevap
  5. E
    14

Cevap

x'li terimin katsayısı -14 olarak bulunur.
Genel terim formülü düzenlendiğinde x'in üssünü 7 yapan r değeri 3 bulunur. Buradan elde edilen katsayı denkleminden a'nın karesi 4 olarak hesaplanır. Ardından x'in üssünü 1 yapan r değeri 5 bulunur ve bu değerler katsayı formülünde yerine konulduğunda doğru sonuç olan -14 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Genel terim formülünü yazıp düzenleme
Tr+1=(8r)(ax2)8−r(−1ax)r=(8r)(−1)ra8−2rx16−3rT_{r+1} = \binom{8}{r} (ax^2)^{8-r} \left(-\frac{1}{ax}\right)^r = \binom{8}{r} (-1)^r a^{8-2r} x^{16-3r}
Açılımdaki herhangi bir terimin katsayısını ve x'in üssünü belirlemek için genel terim formülü kullanılır.
2
Verilen katsayı bilgisinden faydalanarak a değerini bulma
16−3r=7  ⟹  r=316-3r = 7 \implies r=3 ve buradan katsayı: (83)(−1)3a8−6=−56a2=−224  ⟹  a2=4\binom{8}{3} (-1)^3 a^{8-6} = -56a^2 = -224 \implies a^2 = 4
x^7'li terimin katsayısının -224 olduğu bilgisi kullanılarak bilinmeyen a parametresi elde edilir.
3
İstenen terimin indisini (r) belirleme
16−3r=1  ⟹  3r=15  ⟹  r=516-3r = 1 \implies 3r = 15 \implies r=5
x'li (yani x^1'li) terimi bulmak için genel terimdeki x'in üssü 1'e eşitlenir.
4
Belirlenen indis ve a değeriyle katsayıyı hesaplama
Katsayı=(85)(−1)5a8−10=56⋅(−1)⋅a−2=−56⋅1a2=−56⋅14=−14\text{Katsayı} = \binom{8}{5} (-1)^5 a^{8-10} = 56 \cdot (-1) \cdot a^{-2} = -56 \cdot \frac{1}{a^2} = -56 \cdot \frac{1}{4} = -14
Bulunan r=5 indisi ve a'nın karesinin 4'e eşit olması bilgisi genel terim katsayısında yerine yazılarak sonuç bulunur.

Anahtar Kavram

Binom açılımında genel terim katsayısının ve değişken üslerinin belirlenmesi
Bu soruyu puanla

Konular

Binom Açılımı

Bu konudan daha fazla soru