Examkin

Soru

Zorluk: OrtaToplam ve Fark Formülleri
Dar açılı bir ABCABC üçgeninde,
sin⁡A⋅cos⁡B+cos⁡A⋅sin⁡B=23\sin A \cdot \cos B + \cos A \cdot \sin B = \frac{2}{3}
olduğuna göre, cos⁡C\cos C değeri aşağıdakilerden hangisidir?
  1. A
    −53-\frac{\sqrt{5}}{3}
  2. B
    23\frac{2}{3}
  3. 53\frac{\sqrt{5}}{3}Cevap
  4. D
    −23-\frac{2}{3}
  5. E
    59\frac{5}{9}

Cevap

Kök 5 bölü 3
Sinüs toplam formülüne göre sol taraf sin⁡(A+B)\sin(A+B) ifadesine eşittir. Üçgenin iç açılar toplamı 180∘180^\circ olduğundan sin⁡(A+B)=sin⁡(180∘−C)=sin⁡C=23\sin(A+B) = \sin(180^\circ - C) = \sin C = \frac{2}{3} olur. Üçgen dar açılı olduğu için cos⁡C\cos C pozitif olmalıdır. Buradan cos⁡C=1−sin⁡2C=53\cos C = \sqrt{1 - \sin^2 C} = \frac{\sqrt{5}}{3} bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen trigonometrik ifadeye sinüs toplam formülünü uygulayarak sadeleştirin.
sin⁡(A+B)=sin⁡A⋅cos⁡B+cos⁡A⋅sin⁡B=23\sin(A + B) = \sin A \cdot \cos B + \cos A \cdot \sin B = \frac{2}{3}
Toplam formüllerinden yararlanarak ifadeyi tek bir trigonometrik fonksiyon altında birleştirmek için.
2
Üçgenin iç açılar toplamı özelliğini kullanarak A+BA+B açısını CC açısı cinsinden ifade edin.
A+B+C=180∘⇒A+B=180∘−CA + B + C = 180^\circ \Rightarrow A + B = 180^\circ - C
sin⁡(A+B)=sin⁡(180∘−C)=sin⁡C=23\sin(A+B) = \sin(180^\circ - C) = \sin C = \frac{2}{3}
��stenen cos⁡C\cos C değerine geçiş yapabilmek amacıyla açı indirgemesi uygulamak için.
3
Üçgenin dar açılı olması bilgisini kullanarak cos⁡C\cos C değerini hesaplayın.
sin⁡2C+cos⁡2C=1⇒cos⁡2C=1−(23)2=59\sin^2 C + \cos^2 C = 1 \Rightarrow \cos^2 C = 1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{5}{9}
Üçgen dar açılı olduğundan C<90∘C < 90^\circ ve dolayısıyla cos⁡C>0\cos C > 0 olmalıdır.
cos⁡C=53\cos C = \frac{\sqrt{5}}{3}
Temel trigonometrik kimliği kullanarak açının bölgesine göre doğru işaretli kosinüs değerini bulmak için.

Anahtar Kavram

Sinüs toplam formülü ve üçgende açı indirgemesi
Bu soruyu puanla

Konular

Toplam ve Fark Formülleri

Bu konudan daha fazla soru