Examkin

Soru

Zorluk: ZorYarım Açı Formülleri
θ∈(π,5π4)\theta \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) olmak üzere,
1−sin⁡(2θ)+1+sin⁡(2θ)=85\sqrt{1 - \sin(2\theta)} + \sqrt{1 + \sin(2\theta)} = \frac{8}{5}
eşitliği veriliyor.

Buna göre, 25⋅sin⁡(2θ)25 \cdot \sin(2\theta) ifadesinin değeri kaçtır?

Cevap: 24

Cevap

İfadenin sadeleştirilmesi ve yarım açı formüllerinin uygulanmasıyla elde edilen sonuç 24'tür.
Verilen denklemde kareköklü ifadeler tam kare açılımları şeklinde düzenlenip mutlak değer dışına çıkarıldığında, sin⁡θ−cos⁡θ−sin⁡θ−cos⁡θ=−2cos⁡θ\sin\theta - \cos\theta - \sin\theta - \cos\theta = -2\cos\theta elde edilir. Buradan cos⁡θ=−4/5\cos\theta = -4/5 bulunur. Üçüncü bölgede sinüs değeri negatif olacağından sin⁡θ=−3/5\sin\theta = -3/5 olarak belirlenir. Yarım açı formülünden sin⁡(2θ)=2sin⁡θcos⁡θ=24/25\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta = 24/25 olur. Bu değer 25 ile çarpıldığında 24 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Kareköklerin içerisindeki ifadeleri tam kare formunda yazıp karekökten mutlak değerli olarak çıkarın.
1−sin⁡(2θ)=∣sin⁡θ−cos⁡θ∣\sqrt{1 - \sin(2\theta)} = |\sin\theta - \cos\theta| ve 1+sin⁡(2θ)=∣sin⁡θ+cos⁡θ∣\sqrt{1 + \sin(2\theta)} = |\sin\theta + \cos\theta|
1=sin⁡2θ+cos⁡2θ1 = \sin^2\theta + \cos^2\theta özdeşliği ve sin⁡(2θ)=2sin⁡θcos⁡θ\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta yarım aç�� açılımı kullanıldığında kök içleri sırasıyla (sin⁡θ−cos⁡θ)2(\sin\theta - \cos\theta)^2 ve (sin⁡θ+cos⁡θ)2(\sin\theta + \cos\theta)^2 olur.
2
θ∈(π,5π4)\theta \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) aralığına göre trigonometrik değerlerin işaretlerini ve birbirlerine göre büyüklüklerini analiz ederek mutlak değerleri sadeleştirin.
∣sin⁡θ−cos⁡θ∣=sin⁡θ−cos⁡θ|\sin\theta - \cos\theta| = \sin\theta - \cos\theta ve ∣sin⁡θ+cos⁡θ∣=−sin⁡θ−cos⁡θ|\sin\theta + \cos\theta| = -\sin\theta - \cos\theta
Üçüncü bölgede sin⁡θ<0\sin\theta < 0 ve cos⁡θ<0\cos\theta < 0 olup, belirtilen alt aralıkta cos⁡θ<sin⁡θ\cos\theta < \sin\theta gerçekleşir. Bu nedenle sin⁡θ−cos⁡θ>0\sin\theta - \cos\theta > 0 ve sin⁡θ+cos⁡θ<0\sin\theta + \cos\theta < 0 olur.
3
Mutlak değerden çıkarılan ifadeleri toplayarak denklemi çözün ve cos⁡θ\cos\theta değerini bulun.
(sin⁡θ−cos⁡θ)+(−sin⁡θ−cos⁡θ)=85  ⟹  −2cos⁡θ=85  ⟹  cos⁡θ=−45(\sin\theta - \cos\theta) + (-\sin\theta - \cos\theta) = \frac{8}{5} \implies -2\cos\theta = \frac{8}{5} \implies \cos\theta = -\frac{4}{5}
Sol taraf toplandığında sinüs terimleri sadeleşir ve sadece kosinüs terimi kalır.
4
cos⁡θ\cos\theta yardımıyla sin⁡θ\sin\theta değerini belirleyin ve yarım açı formülüyle sin⁡(2θ)\sin(2\theta) değerini hesaplayın.
sin⁡θ=−35\sin\theta = -\frac{3}{5} ve sin⁡(2θ)=2sin⁡θcos⁡θ=2⋅(−35)⋅(−45)=2425\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta = 2 \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) = \frac{24}{25}
sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 özdeşliğinden ve açının üçüncü bölgede olmasından dolayı sinüs değeri negatif seçilir. Ardından yarım açı formülü uygulanır.
5
İstenen 25⋅sin⁡(2θ)25 \cdot \sin(2\theta) ifadesinin değerini hesaplayın.
25⋅2425=2425 \cdot \frac{24}{25} = 24
Hesaplanan yarım açı değeri 25 katsayısı ile çarpılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Yarım açı formülleri kullanılarak trigonometrik ifadelerin sadeleştirilmesi ve verilen aralıkta trigonometrik fonksiyonların işaretlerinin belirlenmesi.
Bu soruyu puanla

Konular

Yarım Açı Formülleri

Bu konudan daha fazla soru