Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÜstel ve Logaritmik Denklemler
log⁡x(2)−log⁡2(x)=32\log_x(2) - \log_2(x) = \frac{3}{2} denkleminin gerçel sayılardaki köklerinin çarpımı 24\frac{\sqrt{2}}{4}'tür.

Cevap: Cevap

Cevap

Verilen ifade doğrudur. Denklemin gerçel köklerinin çarpımı 24\frac{\sqrt{2}}{4}'tür.
Verilen ifade doğrudur, çünkü denklem log⁡2(x)=t\log_2(x) = t dönüşümü yapılarak çözüldüğünde elde edilen kökler x=2x = \sqrt{2} ve x=1/4x = 1/4'tür. Her iki değer de logaritmanın tanım kümesi kurallarına uymaktadır ve çarpımları 24\frac{\sqrt{2}}{4} değerini vermektedir.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritmik ifadelerin tanımlı olması için gerekli taban ve argüman koşullarını belirleme.
x>0x > 0 ve x≠1x \neq 1 olmalıdır.
Logaritma tanımı gereğince taban pozitif ve 11'den farklı olmalıdır, ayrıca log⁡2(x)\log_2(x) ifadesindeki argüman olan xx de pozitif olmalıdır.
2
log⁡x(2)\log_x(2) ifadesini taban değiştirme kuralı kullanarak log⁡2(x)\log_2(x) türünden yazma ve değişken değiştirme uygulama.
log⁡x(2)=1log⁡2(x)\log_x(2) = \frac{1}{\log_2(x)} özelliğinden denklem 1log⁡2(x)−log⁡2(x)=32\frac{1}{\log_2(x)} - \log_2(x) = \frac{3}{2} olur. log⁡2(x)=t\log_2(x) = t dönüşümüyle denklemi 1t−t=32\frac{1}{t} - t = \frac{3}{2} biçimine getirebiliriz.
Denklemi tek bir değişken cinsinden ifade ederek çözümü kolaylaştırmak.
3
Elde edilen rasyonel denklemi düzenleyerek ikinci dereceden bir denklem olarak ifade etme ve çözme.
Paydaları eşitleyip düzenleyince 2t2+3t−2=02t^2 + 3t - 2 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklemin çarpanları (2t−1)(t+2)=0(2t - 1)(t + 2) = 0 olup kökleri t1=12t_1 = \frac{1}{2} ve t2=−2t_2 = -2 bulunur.
Rasyonel denklemi standart ikinci derece denklem formuna dönüştürüp kökleri bulmak.
4
Bulunan tt değerlerini kullanarak orijinal xx değişkeninin değerlerini elde etme ve tanım kümesine uygunluğunu denetleme.
t=12  ⟹  log⁡2(x)=12  ⟹  x1=21/2=2t = \frac{1}{2} \implies \log_2(x) = \frac{1}{2} \implies x_1 = 2^{1/2} = \sqrt{2} ve t=−2  ⟹  log⁡2(x)=−2  ⟹  x2=2−2=14t = -2 \implies \log_2(x) = -2 \implies x_2 = 2^{-2} = \frac{1}{4} elde edilir. Her iki değer de x>0x > 0 ve x≠1x \neq 1 şartını sağladığı için geçerli köklerdir.
Tanım kümesi dışındaki yabancı kökleri elemek ve gerçek çözüm kümesini oluşturmak.
5
Bulunan köklerin çarpımını hesaplama.
x1⋅x2=2⋅14=24x_1 \cdot x_2 = \sqrt{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{\sqrt{2}}{4} bulunur.
Soruda doğruluğu sorgulanan kökler çarpımı ifadesini kontrol etmek.

Anahtar Kavram

Logaritmik denklemlerde taban değiştirme kuralı yardımıyla değişken değiştirme yöntemi uygulamak ve elde edilen köklerin logaritma tanım kümesine uygunluğunu denetlemek.

Alternatif Yöntem

Denklemde taban değiştirme kuralı doğrudan uygulanarak log⁡2(x)=t\log_2(x) = t dönüşümü yerine ln⁡(x)\ln(x) cinsinden yazım da yapılabilir, ancak bu işlem adımlarını uzatacaktır.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Üstel ve Logaritmik Denklemler

Bu konudan daha fazla soru