\log_{x-1}(2x^2 - 10x + 13) = 2 denklemini sağlayan x gerçel sayılarının toplamı kaçtır? — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

\log_{x-1}(2x^2 - 10x + 13) = 2

denklemini sağlayan $x$ gerçel sayılarının toplamı kaçtır?

Verilen logaritmik denklem üstel forma dönüştürüldüğünde

2x^2 - 10x + 13 = (x-1)^2

eşitliği elde edilir. Bu eşitlik düzenlendiğinde

x^2 - 8x + 12 = 0

denklemine ve buradan da

x = 2

veya

x = 6

kök adaylarına ulaşılır. Logaritmanın tanımı gereği taban olan

x-1

ifadesi pozitif ve 1'den farklı olmalıdır.

x = 2

için taban

2 - 1 = 1

olduğundan bu değer tanımsızlığa yol açar ve çözüm kümesine dahil edilemez. Dolayısıyla denklemi sağlayan tek gerçel sayı 6'dır.

Logaritma tanımından yararlanarak denklemi üstel forma dönüştürürüz.

2x^2 - 10x + 13 = (x-1)^2

\log_a(b) = c \iff b = a^c

özelliğini uygulamak için.

Eşitliğin sağ tarafındaki tam kareyi açıp denklemi düzenleriz.

2x^2 - 10x + 13 = x^2 - 2x + 1 \implies x^2 - 8x + 12 = 0

İkinci dereceden denklemi standart forma getirmek için.

Elde edilen ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak kök adaylarını buluruz.

(x-2)(x-6) = 0 \implies x_1 = 2 \text{ veya } x_2 = 6

Denklemi sağlayan kök adaylarını belirlemek için.

Bulunan köklerin logaritmanın tanım kümesi şartlarını sağlayıp sağlamadığını kontrol ederiz.

Taban olan

x-1

ifadesi için:

x > 1

x-1 \neq 1 \implies x \neq 2

olmalıdır. Bu durumda

x=2

elenir ve geriye yalnızca

x=6

kalır.

Logaritmanın tabanının pozitif ve 1'den farklı olması gerektiği kuralını uygulamak için.

Üstel ve logaritmik denklemlerin çözüm kümesi ve logaritma tanım kümesi kuralları.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru