Bir kenar uzunluğu 12 birim olan ABCD karesinde, E noktası [BC] kenarı üzerinde ve F nokta… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Bir kenar uzunluğu $12$ birim olan $ABCD$ karesinde, $E$ noktası $[BC]$ kenarı üzerinde ve $F$ noktası $[CD]$ kenarı üzerindedir.

$|BE| = 3\text{ birim}$
$|EC| = 9\text{ birim}$
$|DF| = 4\text{ birim}$
$|FC| = 8\text{ birim}$

olduğuna göre, $\tan(\widehat{EAF})$ değeri kaçtır?

\frac{11}{7}

Karenin köşesindeki

90^\circ

lik açıdan komşu iki dar açının toplamı çıkarıldığında hedef açı elde edilir. Komşu açıların tanjantları

\frac{1}{3}

\frac{1}{4}

olarak hesaplanır. Toplam formülüyle bu iki açının toplamının tanjantı

\frac{7}{11}

bulunur. Aranan açı tümler açı olduğundan, tanjant değeri toplamın kotanjantına, yani

\frac{7}{11}

değerinin çarpmaya göre tersi olan

\frac{11}{7}

sayısına eşittir.

Karenin kenar uzunluğu ve verilen parça uzunlukları yardımıyla komşu dik üçgenlerdeki tanjant değerlerini hesaplama.

\tan(\widehat{DAF}) = \frac{|DF|}{|AD|} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}

\tan(\widehat{BAE}) = \frac{|BE|}{|AB|} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}

elde edilir.

Hedef açıyı karenin

90^\circ

lik köşe açısını tamamlayan diğer iki dar açının trigonometrik oranları cinsinden ifade edebilmek.

\widehat{DAF} = \alpha

\widehat{BAE} = \beta

değişkenlerini tanımlayıp hedef açıyı bu açılar cinsinden yazma.

\widehat{EAF} = 90^\circ - (\alpha + \beta)

olur.

Karenin köşe açısı dik açı (

90^\circ

) olduğu için

\alpha + \widehat{EAF} + \beta = 90^\circ

eşitliği geçerlidir.

Tanjant toplam formülü yardımıyla

\tan(\alpha + \beta)

değerini hesaplama.

\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha \cdot \tan\beta} = \frac{\frac{1}{3} + \frac{1}{4}}{1 - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4}} = \frac{\frac{7}{12}}{\frac{11}{12}} = \frac{7}{11}

bulunur.

İki komşu açının toplamının tanjant değerini elde etmek.

Trigonometrik indirgeme özelliğini kullanarak hedef açının tanjant değerini bulma.

\tan(\widehat{EAF}) = \tan(90^\circ - (\alpha + \beta)) = \cot(\alpha + \beta) = \frac{1}{\tan(\alpha + \beta)} = \frac{11}{7}

olarak elde edilir.

Tümler açıların tanjantı ile kotanjantı arasındaki

\tan(90^\circ - x) = \cot x

ilişkisini uygulamak.

İki açının toplamının tanjant formülü ve tümler açılar için trigonometrik indirgeme.

Soru