\frac{\cos^4\left(\frac{\pi}{8}\right) - \sin^4\left(\frac{\pi}{8}\right)}{\sin\left(\frac… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

\frac{\cos^4\left(\frac{\pi}{8}\right) - \sin^4\left(\frac{\pi}{8}\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{8}\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{8}\right)}

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevap: 2

Verilen trigonometrik ifadenin sadeleştirilmesi ve özel açı değerlerinin yerine konulması sonucunda elde edilen değer 2'dir.

Pay kısmında yer alan iki kare farkı açılımı yapıldığında

\cos^2(\pi/8) - \sin^2(\pi/8)

çarpanı elde edilir ve bu ifade kosinüsün yarım açı formülünden

\cos(\pi/4)

'e eşittir. Paydadaki

\sin(\pi/8)\cos(\pi/8)

çarpımı ise sinüsün yarım açı formülünden

\frac{1}{2}\sin(\pi/4)

'e eşittir. İki değerin birbirine oranı ise

\cot(\pi/4) = 1

değerinin iki katı olan 2 sonucunu verir.

Pay kısmındaki ifadeyi iki kare farkı özdeşliği ve kosinüs yarım açı formülü ile sadeleştirmek

\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)

a^4 - b^4 = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2)

özdeşliği ve

\cos^2 x + \sin^2 x = 1

ile

\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x

yarım açı formülü birlikte kullanılmıştır.

Payda kısmındaki ifadeyi sinüs yarım açı formülü ile düzenlemek

\frac{1}{2}\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)

\sin(2x) = 2\sin x \cos x

yarım açı formülünden yararlanılmıştır.

Elde edilen sadeleşmiş pay ve payda oranını hesaplamak

2

\frac{\cos(\pi/4)}{\frac{1}{2}\sin(\pi/4)} = 2\cot(\pi/4)

elde edilir.

\cot(\pi/4) = 1

olduğundan sonuç 2 bulunur.

Kosinüs ve sinüs yarım açı formüllerini kullanarak trigonometrik ifadeleri sadeleştirme.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru