Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorToplam ve Fark Formülleri

aa ve bb birer gerçel sayı olmak üzere,

sin⁡2a−sin⁡2b=15\sin^2 a - \sin^2 b = \frac{1}{5}
cos⁡2a−sin⁡2b=310\cos^2 a - \sin^2 b = \frac{3}{10}

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre,

30⋅(tan⁡2a−tan⁡2b1−tan⁡2atan⁡2b)30 \cdot \left( \frac{\tan^2 a - \tan^2 b}{1 - \tan^2 a \tan^2 b} \right)

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevap: 20

Cevap

İfadenin doğru değeri 20'dir.
Verilen özdeşlikler kullanılarak sin⁡(a+b)sin⁡(a−b)=sin⁡2a−sin⁡2b=1/5\sin(a+b)\sin(a-b) = \sin^2 a - \sin^2 b = 1/5 ve cos⁡(a+b)cos⁡(a−b)=cos⁡2a−sin⁡2b=3/10\cos(a+b)\cos(a-b) = \cos^2 a - \sin^2 b = 3/10 bulunur. Bu iki değer oranlandığında tan⁡(a+b)tan⁡(a−b)=tan⁡2a−tan⁡2b1−tan⁡2atan⁡2b=2/3\tan(a+b)\tan(a-b) = \frac{\tan^2 a - \tan^2 b}{1 - \tan^2 a \tan^2 b} = 2/3 elde edilir. Bu oranın 30 katı 20'ye eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
İstenen ifade olan tan⁡2a−tan⁡2b1−tan⁡2atan⁡2b\frac{\tan^2 a - \tan^2 b}{1 - \tan^2 a \tan^2 b} kısmını sinüs ve kosinüs bileşenlerine ayıralım.
tan⁡2a−tan⁡2b1−tan⁡2atan⁡2b=sin⁡2acos⁡2b−cos⁡2asin⁡2bcos⁡2acos⁡2b−sin⁡2asin⁡2b\frac{\tan^2 a - \tan^2 b}{1 - \tan^2 a \tan^2 b} = \frac{\sin^2 a \cos^2 b - \cos^2 a \sin^2 b}{\cos^2 a \cos^2 b - \sin^2 a \sin^2 b} elde edilir.
Tanjant fonksiyonu tan⁡x=sin⁡xcos⁡x\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} tanımı kullanılarak ortak paydada yazılmıştır.
2
Pay ve paydadaki ifadeleri iki kare farkı ve toplam-fark formülleri yardımıyla çarpanlarına ayıralım.
Pay: sin⁡2acos⁡2b−cos⁡2asin⁡2b=(sin⁡acos⁡b−cos⁡asin⁡b)(sin⁡acos⁡b+cos⁡asin⁡b)=sin⁡(a−b)sin⁡(a+b)\sin^2 a \cos^2 b - \cos^2 a \sin^2 b = (\sin a \cos b - \cos a \sin b)(\sin a \cos b + \cos a \sin b) = \sin(a-b)\sin(a+b). Payda: cos⁡2acos⁡2b−sin⁡2asin⁡2b=(cos⁡acos⁡b−sin⁡asin⁡b)(cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b)=cos⁡(a−b)cos⁡(a+b)\cos^2 a \cos^2 b - \sin^2 a \sin^2 b = (\cos a \cos b - \sin a \sin b)(\cos a \cos b + \sin a \sin b) = \cos(a-b)\cos(a+b).
Sinüs ve kosinüs toplam ve fark formülleri sırasıyla sin⁡(a±b)=sin⁡acos⁡b±cos⁡asin⁡b\sin(a \pm b) = \sin a \cos b \pm \cos a \sin b ve cos⁡(a±b)=cos⁡acos⁡b∓sin⁡asin⁡b\cos(a \pm b) = \cos a \cos b \mp \sin a \sin b şeklindedir.
3
sin⁡(a−b)sin⁡(a+b)\sin(a-b)\sin(a+b) ve cos⁡(a−b)cos⁡(a+b)\cos(a-b)\cos(a+b) ifadelerini verilen sin⁡2a−sin⁡2b\sin^2 a - \sin^2 b ve cos⁡2a−sin⁡2b\cos^2 a - \sin^2 b değerleriyle ilişkilendirelim.
sin⁡(a−b)sin⁡(a+b)=sin⁡2acos⁡2b−cos⁡2asin⁡2b=sin⁡2a(1−sin⁡2b)−(1−sin⁡2a)sin⁡2b=sin⁡2a−sin⁡2b=15\sin(a-b)\sin(a+b) = \sin^2 a \cos^2 b - \cos^2 a \sin^2 b = \sin^2 a(1-\sin^2 b) - (1-\sin^2 a)\sin^2 b = \sin^2 a - \sin^2 b = \frac{1}{5}
cos⁡(a−b)cos⁡(a+b)=cos⁡2acos⁡2b−sin⁡2asin⁡2b=cos⁡2a(1−sin⁡2b)−(1−cos⁡2a)sin⁡2b=cos⁡2a−sin⁡2b=310\cos(a-b)\cos(a+b) = \cos^2 a \cos^2 b - \sin^2 a \sin^2 b = \cos^2 a(1-\sin^2 b) - (1-\cos^2 a)\sin^2 b = \cos^2 a - \sin^2 b = \frac{3}{10}
Özdeşliklerin sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1 kullanılarak sadeleştirilmesiyle verilen denklem sistemine doğrudan ulaşılır.
4
Elde ettiğimiz değerleri oranlayarak istenen çarpımı hesaplayalım.
tan⁡2a−tan⁡2b1−tan⁡2atan⁡2b=sin⁡(a−b)sin⁡(a+b)cos⁡(a−b)cos⁡(a+b)=1/53/10=23\frac{\tan^2 a - \tan^2 b}{1 - \tan^2 a \tan^2 b} = \frac{\sin(a-b)\sin(a+b)}{\cos(a-b)\cos(a+b)} = \frac{1/5}{3/10} = \frac{2}{3}
30⋅23=2030 \cdot \frac{2}{3} = 20
İstenen ifadenin değeri, elde ettiğimiz oranın 30 katıdır.

Anahtar Kavram

Toplam ve fark formülleri kullanılarak tan⁡(a+b)tan⁡(a−b)\tan(a+b)\tan(a-b) çarpımının sin⁡(a+b)sin⁡(a−b)\sin(a+b)\sin(a-b) ve cos⁡(a+b)cos⁡(a−b)\cos(a+b)\cos(a-b) oranına eşit olduğunun gösterilmesi ve bu ifadelerin sin⁡2a−sin⁡2b\sin^2 a - \sin^2 b ile cos⁡2a−sin⁡2b\cos^2 a - \sin^2 b biçiminde sadeleştirilmesi.
Bu soruyu puanla

Konular

Toplam ve Fark Formülleri

Bu konudan daha fazla soru