Examkin

Soru

Zorluk: ZorYarım Açı Formülleri
x∈(π4,π2)x \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right) olmak üzere,
1−cos⁡(4x)+sin⁡(4x)1+cos⁡(4x)+sin⁡(4x)=−247\frac{1 - \cos(4x) + \sin(4x)}{1 + \cos(4x) + \sin(4x)} = -\frac{24}{7}
olduğuna göre, tan⁡x\tan x ifadesinin değeri kaçtır?
  1. 43\frac{4}{3}Cevap
  2. B
    34\frac{3}{4}
  3. C
    −34-\frac{3}{4}
  4. D
    −43-\frac{4}{3}
  5. E
    77

Cevap

Dört bölü ü�� (4/3)
Verilen ifade sadeleştirildiğinde tan⁡2x=−247\tan 2x = -\frac{24}{7} bulunur. Tanjant iki kat açı formülü kullanılarak elde edilen 12t2−7t−12=012t^2 - 7t - 12 = 0 denkleminin kökleri 43\frac{4}{3} ve −34-\frac{3}{4}'tür. x∈(π/4,π/2)x \in (\pi/4, \pi/2) aralığında tan⁡x>1\tan x > 1 olması gerektiğinden doğru değer 43\frac{4}{3} olur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen rasyonel ifadenin pay ve paydasındaki terimleri yarım açı formülleri yardımıyla sadeleştirin.
1−cos⁡4x=2sin⁡22x1 - \cos 4x = 2\sin^2 2x ve 1+cos⁡4x=2cos⁡22x1 + \cos 4x = 2\cos^2 2x eşitlikleri ile sin⁡4x=2sin⁡2xcos⁡2x\sin 4x = 2\sin 2x \cos 2x özdeşliği yerine yazıldığında pay ifadesi 2sin⁡2x(sin⁡2x+cos⁡2x)2\sin 2x(\sin 2x + \cos 2x) ve payda ifadesi 2cos⁡2x(sin⁡2x+cos⁡2x)2\cos 2x(\sin 2x + \cos 2x) olur. Buradan ifade tan⁡2x\tan 2x olarak sadeleşir.
Trigonometrik denklemi daha basit bir formda çözebilmek için yarım açı formüllerini kullanarak sadeleştirme yapılması gerekir.
2
Elde edilen tan⁡2x=−247\tan 2x = -\frac{24}{7} eşitliğini tanjant yarım aç�� formülünde yerine koyun.
tan⁡2x=2tan⁡x1−tan⁡2x\tan 2x = \frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x} formülünde tan⁡x=t\tan x = t yazılarak 2t1−t2=−247\frac{2t}{1 - t^2} = -\frac{24}{7} denklemi kurulur.
tan⁡2x\tan 2x değerinden tan⁡x\tan x değerine geçiş yapabilmek için tanjantın yarım açı (iki kat açı) formülü kullanılır.
3
Oluşan ikinci dereceden denklemi düzenleyin ve çözün.
t1−t2=−127  ⟹  12t2−7t−12=0\frac{t}{1 - t^2} = -\frac{12}{7} \implies 12t^2 - 7t - 12 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklem çarpanlarına (4t+3)(3t−4)=0(4t + 3)(3t - 4) = 0 şeklinde ayrılır. Kökler t1=43t_1 = \frac{4}{3} ve t2=−34t_2 = -\frac{3}{4} olarak bulunur.
Rasyonel denklemi çözülebilir kılmak için içler dışlar çarpımı yapılarak ikinci dereceden denklem standart formuna getirilir.
4
Açının tanım kümesini kontrol ederek doğru tan⁡x\tan x değerini belirleyin.
x∈(π4,π2)x \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right) aralığında tanjant fonksiyonu pozitif değerler alır ve tan⁡x>1\tan x > 1 olmalıdır. Bu koşulu sağlayan kök t=43t = \frac{4}{3}'tür.
Trigonometrik fonksiyonların değerleri bulunurken açının ait olduğu bölge (kadran) işaret ve büyüklük sınırlarını belirler.

Anahtar Kavram

Tanjant yarım açı formülü ve trigonometrik ifadelerin yarım açı formülleriyle sadeleştirilmesi
Bu soruyu puanla

Konular

Yarım Açı Formülleri

Bu konudan daha fazla soru