Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorToplam ve Fark Formülleri
Tanımlı olduğu xx değerleri için,
2(sin⁡(3x)cos⁡3x+cos⁡(3x)sin⁡3x)3(cos⁡4x−sin⁡4x)\frac{2\left(\sin(3x)\cos^3 x + \cos(3x)\sin^3 x\right)}{3\left(\cos^4 x - \sin^4 x\right)}
ifadesinin en sade eşiti nedir?

Cevap: sin(2x) / \sin(2x) / sin2x / \sin2x / sin(2*x) / \sin(2*x)

Cevap

sin⁡(2x)\sin(2x)
Verilen ifade toplam-fark ve iki kat açı formülleri kullanılarak sadeleştirildiğinde pay kısmı 3sin⁡(2x)cos⁡(2x)3\sin(2x)\cos(2x) değerine, payda kısmı ise iki kare farkı açılımından 3cos⁡(2x)3\cos(2x) değerine eşit olur. Bu iki ifadenin birbirine oranı ise sin⁡(2x)\sin(2x) sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki ifadeyi düzenlemek için cos⁡3x=cos⁡x⋅cos⁡2x\cos^3 x = \cos x \cdot \cos^2 x ve sin⁡3x=sin⁡x⋅sin⁡2x\sin^3 x = \sin x \cdot \sin^2 x özdeşliklerini yazalım.
Pay: 2(sin⁡(3x)cos⁡x⋅cos⁡2x+cos⁡(3x)sin⁡x⋅sin⁡2x)2\left(\sin(3x)\cos x \cdot \cos^2 x + \cos(3x)\sin x \cdot \sin^2 x\right)
İfadeyi toplam-fark ve yarım açı formüllerini uygulayabileceğimiz bir formata dönüştürmek.
2
cos⁡2x=1+cos⁡(2x)2\cos^2 x = \frac{1+\cos(2x)}{2} ve sin⁡2x=1−cos⁡(2x)2\sin^2 x = \frac{1-\cos(2x)}{2} yarım açı formüllerini paydaki ifadede yerine yazalım.
Pay: 2(sin⁡(3x)cos⁡x(1+cos⁡(2x)2)+cos⁡(3x)sin⁡x(1−cos⁡(2x)2))2\left(\sin(3x)\cos x \left(\frac{1+\cos(2x)}{2}\right) + \cos(3x)\sin x \left(\frac{1-\cos(2x)}{2}\right)\right)
Dereceleri düşürerek toplam-fark formüllerini uygulayacak terimler elde etmek.
3
Dışarıdaki 22 katsayısını dağıtarak paydadaki 22 değerlerini sadeleştirelim ve ifadeyi açalım.
Pay: (sin⁡(3x)cos⁡x+cos⁡(3x)sin⁡x)+cos⁡(2x)(sin⁡(3x)cos⁡x−cos⁡(3x)sin⁡x)\left(\sin(3x)\cos x + \cos(3x)\sin x\right) + \cos(2x)\left(\sin(3x)\cos x - \cos(3x)\sin x\right)
İfadeyi gruplandırarak toplam ve fark formüllerine uygun hale getirmek.
4
Sinüs toplam ve fark formüllerini (sin⁡(a±b)=sin⁡acos⁡b±cos⁡asin⁡b\sin(a\pm b) = \sin a\cos b \pm \cos a\sin b) uygulayalım.
Pay: sin⁡(3x+x)+cos⁡(2x)sin⁡(3x−x)=sin⁡(4x)+sin⁡(2x)cos⁡(2x)\sin(3x+x) + \cos(2x)\sin(3x-x) = \sin(4x) + \sin(2x)\cos(2x)
Trigonometrik toplam ve fark formüllerini kullanarak açıları sadeleştirmek.
5
sin⁡(4x)\sin(4x) ifadesine iki kat açı formülünü (sin⁡(4x)=2sin⁡(2x)cos⁡(2x)\sin(4x) = 2\sin(2x)\cos(2x)) uygulayalım ve payı toplayalım.
Pay: 2sin⁡(2x)cos⁡(2x)+sin⁡(2x)cos⁡(2x)=3sin⁡(2x)cos⁡(2x)2\sin(2x)\cos(2x) + \sin(2x)\cos(2x) = 3\sin(2x)\cos(2x)
Pay kısmını tek bir çarpım ifadesi halinde yazmak.
6
Paydadaki 3(cos⁡4x−sin⁡4x)3(\cos^4 x - \sin^4 x) ifadesini iki kare farkı yöntemiyle çarpanlarına ayıralım.
Payda: 3(cos⁡2x−sin⁡2x)(cos⁡2x+sin⁡2x)3(\cos^2 x - \sin^2 x)(\cos^2 x + \sin^2 x)
Paydadaki yüksek dereceli terimleri sadeleştirmek.
7
cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos^2 x + \sin^2 x = 1 ve cos⁡2x−sin⁡2x=cos⁡(2x)\cos^2 x - \sin^2 x = \cos(2x) iki kat açı özdeşliklerini paydada yerine yazalım.
Payda: 3cos⁡(2x)3\cos(2x)
Paydayı en sade biçimine getirmek.
8
Bulduğumuz pay ifadesini payda ifadesine oranlayarak sadeleştirmeyi tamamlayalım.
Oran: 3sin⁡(2x)cos⁡(2x)3cos⁡(2x)=sin⁡(2x)\frac{3\sin(2x)\cos(2x)}{3\cos(2x)} = \sin(2x)
En sade sonucu elde etmek.

Anahtar Kavram

Toplam-fark formülleri, iki kat açı formülleri ve çarpanlara ayırma özdeşliklerinin bir arada kullanılarak karmaşık trigonometrik ifadelerin sadeleştirilmesi.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, pay kısmında yer alan sin⁡(3x)\sin(3x) ve cos⁡(3x)\cos(3x) ifadeleri için sırasıyla sin⁡(3x)=3sin⁡x−4sin⁡3x\sin(3x) = 3\sin x - 4\sin^3 x ve cos⁡(3x)=4cos⁡3x−3cos⁡x\cos(3x) = 4\cos^3 x - 3\cos x üç kat açı açılımları doğrudan yerine yazılabilir. Bu durumda pay:
2((3sin⁡x−4sin⁡3x)cos⁡3x+(4cos⁡3x−3cos⁡x)sin⁡3x)2\left((3\sin x - 4\sin^3 x)\cos^3 x + (4\cos^3 x - 3\cos x)\sin^3 x\right)
=2(3sin⁡xcos⁡3x−4sin⁡3xcos⁡3x+4cos⁡3xsin⁡3x−3sin⁡3xcos⁡x)= 2\left(3\sin x\cos^3 x - 4\sin^3 x\cos^3 x + 4\cos^3 x\sin^3 x - 3\sin^3 x\cos x\right)
=6sin⁡xcos⁡3x−6sin⁡3xcos⁡x= 6\sin x\cos^3 x - 6\sin^3 x\cos x
=6sin⁡xcos⁡x(cos⁡2x−sin⁡2x)= 6\sin x\cos x(\cos^2 x - \sin^2 x)
=3sin⁡(2x)cos⁡(2x)= 3\sin(2x)\cos(2x)
olarak çok daha hızlı bir şekilde sadeleşir. Payda ise 3cos⁡(2x)3\cos(2x) olduğundan oran doğrudan sin⁡(2x)\sin(2x) bulunur.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Toplam ve Fark Formülleri

Bu konudan daha fazla soru