Examkin

Soru

Zorluk: OrtaYarım Açı Formülleri
x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) olmak üzere,
sin⁡x+cos⁡x=15\sin x + \cos x = \frac{1}{5}
olduğuna göre, tan⁡(2x)\tan(2x) ifadesinin de��eri kaçtır?
  1. A
    −247-\frac{24}{7}
  2. B
    724\frac{7}{24}
  3. C
    −724-\frac{7}{24}
  4. 247\frac{24}{7}Cevap
  5. E
    −43-\frac{4}{3}

Cevap

yirmi dört bölü yedi
Verilen denklemde her iki tarafın karesi alındığında 1+sin⁡(2x)=1251 + \sin(2x) = \frac{1}{25} elde edilir. Buradan sin⁡(2x)=−2425\sin(2x) = -\frac{24}{25} bulunur. x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) aralığında olduğundan 2x2x açısı üçüncü bölgededir. Üçüncü bölgede kosinüs negatif olduğundan cos⁡(2x)=−725\cos(2x) = -\frac{7}{25} olur. Buradan tan⁡(2x)=sin⁡(2x)cos⁡(2x)=247\tan(2x) = \frac{\sin(2x)}{\cos(2x)} = \frac{24}{7} değeri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
E��itliğin her iki tarafının karesini alma
1+sin⁡(2x)=125  ⟹  sin⁡(2x)=−24251 + \sin(2x) = \frac{1}{25} \implies \sin(2x) = -\frac{24}{25}
İki kat açının sinüs değerine ulaşmak için yarım açı formülünü kullanmak amacıyla kare alma işlemi yapılır.
2
İki kat açının aralığını belirleme
2x∈(π,3π2)2x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) (3. bölge)
xx açısının tanım aralığından yararlanılarak 2x2x açısının koordinat düzlemindeki bölgesi saptanır.
3
İki kat açının kosinüs değerini bulma
cos⁡(2x)=−725\cos(2x) = -\frac{7}{25}
3. bölgede kosinüs fonksiyonu negatif olduğundan, sin⁡2(2x)+cos⁡2(2x)=1\sin^2(2x) + \cos^2(2x) = 1 özdeşliğinden yararlanılarak negatif değer seçilir.
4
İki kat açının tanjant değerini hesaplama
tan⁡(2x)=247\tan(2x) = \frac{24}{7}
Tanjant fonksiyonunun sinüsün kosinüse oranı olduğu tanımı kullanılarak nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Yarım Açı Formülleri
Bu soruyu puanla

Konular

Yarım Açı Formülleri

Bu konudan daha fazla soru