2^{\log_2^2(x)} + x^{\log_2(x)} = 4 denklemini sağlayan x gerçel sayılarının toplamı \frac… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

2^{\log_2^2(x)} + x^{\log_2(x)} = 4

denklemini sağlayan

x

gerçel sayılarının toplamı

\frac{5}{2}

'dir.

Cevap: Cevap

Verilen ifade doğrudur. Denklemin gerçel kökleri

2

\frac{1}{2}

olup toplamları

\frac{5}{2}

'dir.

Denklemde

2^{\log_2^2(x)}

ifadesi

x^{\log_2(x)}

olarak yazıldığında, denklem

x^{\log_2(x)} = 2

şekline indirgenir. Buradan elde edilen kökler

2

\frac{1}{2}

olur, toplamları ise

\frac{5}{2}

'yi verir.

2^{\log_2^2(x)}

terimini, üs kuralları ve logaritma özellikleri yardımıyla sadeleştirin.

2^{\log_2^2(x)} = 2^{(\log_2(x) \cdot \log_2(x))} = \left(2^{\log_2(x)}\right)^{\log_2(x)} = x^{\log_2(x)}

elde edilir.

Denklemin tüm terimlerini ortak bir taban ve üs formuna getirerek çözümü basitleştirmek.

Elde edilen ifadeyi orijinal denklemde yerine koyarak düzenleyin.

x^{\log_2(x)} + x^{\log_2(x)} = 4 \implies 2 \cdot x^{\log_2(x)} = 4 \implies x^{\log_2(x)} = 2

elde edilir.

Benzer terimleri birleştirerek denklemi tek bir üslü ifade biçiminde yazmak.

x^{\log_2(x)} = 2

denkleminin her iki tarafının 2 tabanında logaritmasını alın.

\log_2\left(x^{\log_2(x)}\right) = \log_2(2) \implies \log_2(x) \cdot \log_2(x) = 1 \implies (\log_2(x))^2 = 1

elde edilir.

Üstteki logaritma ifadesini katsayı olarak öne indirerek denklemi çözülebilir bir cebirsel forma sokmak.

(\log_2(x))^2 = 1

denklemini çözerek

x

değerlerini bulun ve tanım kümesine uygunluğunu kontrol edin.

\log_2(x) = 1 \implies x = 2

ve \log_2(x) = -1 \implies x = \frac{1}{2}

bulunur. Her iki kök de

x > 0

tanım aralığında olduğundan çözüm kümesi

\{2, \frac{1}{2}\}

olur. Bu köklerin toplamı

2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$ olarak hesaplanır.

Denklemin köklerini bulmak, bu köklerin logaritma tanım kümesini sağladığını doğrulamak ve sonuca ulaşmak.

Logaritmalı denklemlerde taban-üs değiştirme kuralları, değişken değiştirme ve tanım kümesi kontrolleri.

Soru