Dik koordinat düzleminde, O(0,0) orijin noktası olmak üzere A(1, k) ve B(k, 3) noktaları v… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Dik koordinat düzleminde, $O(0,0)$ orijin noktası olmak üzere $A(1, k)$ ve $B(k, 3)$ noktaları veriliyor.

$OA$ ve $OB$ doğruları arasındaki dar açının ölçüsü $45^\circ$ olduğuna göre, $k$ sayısının alabileceği pozitif değerlerin toplamı kaçtır?

Pozitif

k

değerlerinin toplamı

2\sqrt{7}

'dir.

İki doğrunun eğimleri sırasıyla

m_1 = k

m_2 = 3/k

olarak hesaplanır. Eğimler arasındaki farkın mutlak değeri ile iki doğrunun arasındaki dar açının tanjantı formülünden

\left| \frac{k - 3/k}{1 + 3} \right| = 1

denklemi elde edilir. Bu denklem çözüldüğünde pozitif kökler

2 + \sqrt{7}

-2 + \sqrt{7}

olarak bulunur. Bu değerlerin toplamı ise

2\sqrt{7}

'dir.

OA

OB

doğrularının eğimlerini belirleyin.

OA

doğrusunun eğimi

m_1 = \frac{k}{1} = k

OB

doğrusunun eğimi

m_2 = \frac{3}{k}

olur.

Bir doğrunun eğimi, üzerindeki bir noktanın ordinatının apsisine oranına eşittir.

İki doğru arasındaki açının tanjant formülünü yazın ve uygulayın.

\tan 45^\circ = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 \cdot m_2} \right| \implies 1 = \left| \frac{k - \frac{3}{k}}{1 + k \cdot \frac{3}{k}} \right| \implies 1 = \left| \frac{k^2 - 3}{4k} \right|

İki doğru arasındaki açıyı veren formül

\tan\theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|

şeklindedir.

Mutlak değerli denklemi iki farklı durum için çözün.

Birinci durum:

\frac{k^2 - 3}{4k} = 1 \implies k^2 - 4k - 3 = 0

. Buradan kökler

k = 2 \pm \sqrt{7}

olur. Pozitif olan kök

k_1 = 2 + \sqrt{7}

'dir. İkinci durum:

\frac{k^2 - 3}{4k} = -1 \implies k^2 + 4k - 3 = 0

. Buradan kökler

k = -2 \pm \sqrt{7}

olur. Pozitif olan kök

k_2 = -2 + \sqrt{7}

'dir.

Mutlak değer içerisindeki ifade dışarıya pozitif ya da negatif işaretli olarak çıkabilir.

Bulunan pozitif

k

değerlerini toplayın.

k_1 + k_2 = (2 + \sqrt{7}) + (-2 + \sqrt{7}) = 2\sqrt{7}

Soru bizden alabileceği pozitif

k

değerlerinin toplamını istemektedir.

İki doğru arasındaki açının tanjantı, doğruların eğimleri yardımıyla iki açının farkının tanjantı formülü kullanılarak hesaplanır.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru