Examkin

Soru

Zorluk: OrtaYarım Açı Formülleri
x∈(π,5π4)x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) olmak üzere,
tan⁡x+cot⁡x=52\tan x + \cot x = \frac{5}{2}
olduğuna göre, cos⁡(2x)\cos(2x) ifadesinin değeri kaçtır?
  1. A
    −35-\frac{3}{5}
  2. 35\frac{3}{5}Cevap
  3. C
    45\frac{4}{5}
  4. D
    −45-\frac{4}{5}
  5. E
    725\frac{7}{25}

Cevap

İfadenin doğru değeri 3/5'tir.
Doğru yanıt olan 3/5 değeri, verilen tanım aralığında tanjant değerinin 1/2 olduğunu belirledikten sonra yarım açı formülünün doğru şekilde uygulanmasıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen denklemi tanjant fonksiyonu cinsinden ifade edelim.
tan⁡x+1tan⁡x=52  ⟹  tan⁡2x+1tan⁡x=52  ⟹  2tan⁡2x−5tan⁡x+2=0\tan x + \frac{1}{\tan x} = \frac{5}{2} \implies \frac{\tan^2 x + 1}{\tan x} = \frac{5}{2} \implies 2\tan^2 x - 5\tan x + 2 = 0 denklemi elde edilir.
Tanjant değerini bulmak için denklemde cot(x) yerine 1/tan(x) yazılarak ikinci dereceden bir denklem elde edilmiştir.
2
Elde edilen denklemi çarpanlarına ayıralım ve tanım aralığına uygun olan tanjant değerini belirleyelim.
(2tan⁡x−1)(tan⁡x−2)=0  ⟹  tan⁡x=12 veya tan⁡x=2(2\tan x - 1)(\tan x - 2) = 0 \implies \tan x = \frac{1}{2} \text{ veya } \tan x = 2 bulunur. x∈(π,5π4)x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) aralığında 0<tan⁡x<10 < \tan x < 1 olduğundan, uygun değer tan⁡x=12\tan x = \frac{1}{2} olarak seçilir.
Açının bulunduğu bölge, tanjant fonksiyonunun alabileceği değer aralığını belirler.
3
Tanjant değeri yardımıyla kosinüs yarım açı formülünü uygulayalım.
cos⁡(2x)=1−tan⁡2x1+tan⁡2x=1−(12)21+(12)2=1−141+14=3454=35\cos(2x) = \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x} = \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2}{1 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \frac{1 - \frac{1}{4}}{1 + \frac{1}{4}} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{4}} = \frac{3}{5} elde edilir.
Kosinüsün yarım açı değeri, tanjant cinsinden yazılan özdeşlik kullanılarak doğrudan hesaplanmıştır.

Anahtar Kavram

Tanjant yardımıyla kosinüs yarım açı değerlerinin hesaplanması
Bu soruyu puanla

Konular

Yarım Açı Formülleri

Bu konudan daha fazla soru