Examkin

Soru

Zorluk: OrtaYarım Açı Formülleri
x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) olmak üzere,
1+sin⁡(2x)sin⁡2x−cos⁡2x=−32\frac{1 + \sin(2x)}{\sin^2 x - \cos^2 x} = -\frac{3}{2}

olduğuna göre, tan⁡(2x)\tan(2x) değeri kaçtır?

  1. A
    −1213-\frac{12}{13}
  2. B
    −512-\frac{5}{12}
  3. C
    513\frac{5}{13}
  4. D
    25\frac{2}{5}
  5. 512\frac{5}{12}Cevap

Cevap

İfadenin sadeleştirilmesi ve tanjant yarım açı formülünün uygulanmasıyla elde edilen 512\frac{5}{12} değeridir.
Verilen ifade sadeleştirildiğinde tan⁡x=15\tan x = \frac{1}{5} değeri bulunur. Bu değer tanjant yarım açı formülü olan tan⁡(2x)=2tan⁡x1−tan⁡2x\tan(2x) = \frac{2\tan x}{1-\tan^2 x} denkleminde yerine yazıldığında doğru sonuç olan 512\frac{5}{12} elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki 1+sin⁡(2x)1 + \sin(2x) ifadesini yarım açı ve temel özdeşlikler yardımıyla tam kare biçiminde yazalım.
1+sin⁡(2x)=(sin⁡x+cos⁡x)21 + \sin(2x) = (\sin x + \cos x)^2
1=sin⁡2x+cos⁡2x1 = \sin^2 x + \cos^2 x ve sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x\sin(2x) = 2\sin x \cos x olduğundan, 1+sin⁡(2x)=sin⁡2x+2sin⁡xcos⁡x+cos⁡2x=(sin⁡x+cos⁡x)21 + \sin(2x) = \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x = (\sin x + \cos x)^2 elde edilir.
2
Payda kısmındaki sin⁡2x−cos⁡2x\sin^2 x - \cos^2 x ifadesini iki kare farkı özdeşliğiyle çarpanlarına ayıralım.
sin⁡2x−cos⁡2x=(sin⁡x−cos⁡x)(sin⁡x+cos⁡x)\sin^2 x - \cos^2 x = (\sin x - \cos x)(\sin x + \cos x)
a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) çarpanlara ayırma kuralı uygulanır.
3
İfadeyi sadeleştirip içler dışlar çarpımı yaparak tan⁡x\tan x değerini bulalım.
tan⁡x=15\tan x = \frac{1}{5}
(sin⁡x+cos⁡x)2(sin⁡x−cos⁡x)(sin⁡x+cos⁡x)=−32\frac{(\sin x + \cos x)^2}{(\sin x - \cos x)(\sin x + \cos x)} = -\frac{3}{2} ifadesinde sin⁡x+cos⁡x≠0\sin x + \cos x \neq 0 olduğundan sadeleştirme yap��lırsa sin⁡x+cos⁡xsin⁡x−cos⁡x=−32\frac{\sin x + \cos x}{\sin x - \cos x} = -\frac{3}{2} elde edilir. Buradan 2sin⁡x+2cos⁡x=−3sin⁡x+3cos⁡x  ⟹  5sin⁡x=cos⁡x  ⟹  tan⁡x=152\sin x + 2\cos x = -3\sin x + 3\cos x \implies 5\sin x = \cos x \implies \tan x = \frac{1}{5} bulunur.
4
Tanjant yarım açı formülünü kullanarak tan⁡(2x)\tan(2x) değerini hesaplayalım.
tan⁡(2x)=512\tan(2x) = \frac{5}{12}
tan⁡(2x)=2tan⁡x1−tan⁡2x\tan(2x) = \frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x} formülünde tan⁡x=15\tan x = \frac{1}{5} yazıldığında tan⁡(2x)=2⋅151−(15)2=252425=25⋅2524=512\tan(2x) = \frac{2 \cdot \frac{1}{5}}{1 - \left(\frac{1}{5}\right)^2} = \frac{\frac{2}{5}}{\frac{24}{25}} = \frac{2}{5} \cdot \frac{25}{24} = \frac{5}{12} elde edilir.

Anahtar Kavram

Tanjant yarım açı formülü ve trigonometrik ifadelerin tam kare yardımıyla sadeleştirilmesi.

Alternatif Yöntem

tan⁡x=15\tan x = \frac{1}{5} değeri bulunduktan sonra bir dik üçgen çizilerek sin⁡x=126\sin x = \frac{1}{\sqrt{26}} ve cos⁡x=526\cos x = \frac{5}{\sqrt{26}} değerleri bulunur. Buradan sinüs ve kosinüsün yarım açı formülleriyle sin⁡(2x)=513\sin(2x) = \frac{5}{13} ve cos⁡(2x)=1213\cos(2x) = \frac{12}{13} elde edilir. tan⁡(2x)=sin⁡(2x)cos⁡(2x)\tan(2x) = \frac{\sin(2x)}{\cos(2x)} tanımı kullanılarak da 512\frac{5}{12} sonucuna ulaşılabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Yarım Açı Formülleri

Bu konudan daha fazla soru